Usando a definição de limites, prove que:
lim n infty n^2 e^-n=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que an = n^2 e^-n tende a 0 quando ntoinfty. Vamos precisar do conceito de limite de sequência ( forallvarepsilon>0,exists N,forall n>N:,|an - 0|) e de uma desigualdade para a exponencial baseada em sua série de Taylor.

Passo 2

Lembrando a expansão em série de Taylor de e^n:
e^n = sumk=0^infty n^kk! = 1 + n + n^22! + n^33! + cdots
Para n>=3 podemos descartar os termos menores e obter
e^n >= n^33! = n^36

Passo 3

Da desigualdade anterior segue, para n>=3:
n^2 e^-n = n^2e^n <= n^2n^3/6 = 6n

Passo 4

Agora entra a definição de limite. Seja arbitrário varepsilon>0. Se escolhermos
N = maxl3,;lceil 6/varepsilonrceilr,
então para todo n>N temos n>=3 e
n^2 e^-n <= 6n < 6N <= varepsilon
Isso mostra que |an-0| sempre que n>N, conforme queríamos.

Passo 5

Portanto, pela definição de limite de sequência, segue que limntoinfty n^2 e^-n = 0

Resposta

0

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