Usando a definição de limites, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que
tende a 0 quando
. Vamos precisar do conceito de limite de sequência (
) e de uma desigualdade para a exponencial baseada em sua série de Taylor.
Passo 2
Lembrando a expansão em série de Taylor de
:
Para
podemos descartar os termos menores e obter
Passo 3
Da desigualdade anterior segue, para
:
Passo 4
Agora entra a definição de limite. Seja arbitrário
. Se escolhermos
então para todo
temos
e
Isso mostra que
sempre que
, conforme queríamos.
Passo 5
Portanto, pela definição de limite de sequência, segue que
Resposta
0