Usando a definição de limites, prove que:

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência an=2+tfrac1n converge para 2 quando ntoinfty. O conteúdo aqui é definição epsilon–N de limite de sequência, e vamos precisar usar que, para todo varepsilon>0, existe N tal que, se n>= N, então |an-2|.

Passo 2

Pela definição, queremos mostrar que dado qualquer varepsilon>0, existe NinN de modo que, para todo n>= N, se cumpra
|an-2|

Passo 3

Calculamos a diferença:
|an-2|=l|2+tfrac1n-2r|=l|tfrac1nr|=tfrac1n

Passo 4

Logo precisamos de tfrac1n, ou seja
n>tfrac1varepsilon

Passo 5

Para escolher um N que funcione, podemos tomar
N=lceiltfrac1varepsilonrceil
Assim, se n>= N, então n>=tfrac1varepsilon e portanto tfrac1n<=tfrac1N.

Passo 6

Concluímos, pelo critério epsilon–N, que limntoinfty(2+tfrac1n)=2.

Resposta

Foi mostrado que para todo varepsilon>0 basta escolher N=lceil1/varepsilonrceil para garantir |(2+1/n)-2| sempre que n>= N. Portanto limntoinfty(2+1/n)=2.

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