O enunciado pede para provar que a sequência converge para 2 quando . O conteúdo aqui é definição epsilon–N de limite de sequência, e vamos precisar usar que, para todo , existe tal que, se , então .
Passo 2
Pela definição, queremos mostrar que dado qualquer , existe de modo que, para todo , se cumpra
Passo 3
Calculamos a diferença:
Passo 4
Logo precisamos de tfrac1n, ou seja
n>tfrac1varepsilon
Passo 5
Para escolher um N que funcione, podemos tomar
N=lceiltfrac1varepsilonrceil
Assim, se n>= N, então n>=tfrac1varepsilon e portanto tfrac1n<=tfrac1N.
Passo 6
Concluímos, pelo critério epsilon–N, que limntoinfty(2+tfrac1n)=2.
Resposta
Foi mostrado que para todo varepsilon>0 basta escolher N=lceil1/varepsilonrceil para garantir |(2+1/n)-2| sempre que n>= N. Portanto limntoinfty(2+1/n)=2.