- Determine as coordenadas de centro de massa de um paralelepípedo regular de arestas
(direção de
),
(direção de
e
(direção de
), de densidade
.
Passo 1
O paralelepípedo ocupa a região 0≤x≤a, 0≤y≤b, 0≤z≤c e tem densidade ρ(x,y,z)=ρ₀(1+xy²/(ab²)). Queremos encontrar o centro de massa definido por x_cm=(1/M)∭ xρ dV, y_cm=(1/M)∭ yρ dV e z_cm=(1/M)∭ zρ dV. Vamos precisar primeiro da massa total M.
Passo 2
Calcular a massa total M:
Usando
Usando
Integrando em z dá um fator c:
Separando
Logo
Passo 3
Calcular x_cm:
Dentro da integral
então
Dividindo por M=7ρ_0abc/6 resulta
Passo 4
Calcular y_cm:
Aqui
logo
Dividindo por M dá
Passo 5
Calcular z_cm: a densidade não depende de z, então
Temos
Portanto