1. Determine as coordenadas de centro de massa de um paralelepípedo regular de arestas a (direção de x ), b (direção de y) e c (direção de z ), de densidade rho= .

Passo 1

O paralelepípedo ocupa a região 0≤x≤a, 0≤y≤b, 0≤z≤c e tem densidade ρ(x,y,z)=ρ₀(1+xy²/(ab²)). Queremos encontrar o centro de massa definido por x_cm=(1/M)∭ xρ dV, y_cm=(1/M)∭ yρ dV e z_cm=(1/M)∭ zρ dV. Vamos precisar primeiro da massa total M.

Passo 2

Calcular a massa total M:
Usando
M=integral triplaVρ(x,y,z),dV=rho0integral0^aintegral0^bintegral0^cl(1+x y^2a b^2r)dz,dy,dx
Integrando em z dá um fator c:
M=rho0cintegral0^aintegral0^bl(1+x y^2a b^2r)dy,dx
Separando
integral0^aintegral0^b1,dy,dx=a b,integral0^aintegral0^bx y^2a b^2dy,dx=a b6
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M=rho0cl(a b+a b6r)=76,rho0a b c

Passo 3

Calcular x_cm:
xcm=1Mintegral triplaVxρ,dV=ρ0cMintegral0^aintegral0^b xl(1+x y^2a b^2r)dy,dx
Dentro da integral
integral0^aintegral0^b x,dy,dx=a^2b2,integral0^aintegral0^b x^2y^2a b^2dy,dx=a^2b9,
então
integral tripla xρ,dV=ρ0ccdot1118a^2b
Dividindo por M=7ρ_0abc/6 resulta
xcm=tfrac1118ρ0c a^2btfrac76ρ0a b c=1121,a

Passo 4

Calcular y_cm:
ycm=1Mintegral triplaVyρ,dV=ρ0cMintegral0^aintegral0^b yl(1+x y^2a b^2r)dy,dx
Aqui
integral0^aintegral0^b y,dy,dx=ab^22,integral0^aintegral0^b x y^3a b^2dy,dx=ab^28,
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integral tripla yρ,dV=ρ0ccdot58ab^2
Dividindo por M dá
ycm=tfrac58ρ0c a b^2tfrac76ρ0a b c=1528,b

Passo 5

Calcular z_cm: a densidade não depende de z, então
zcm=1Mintegral triplaV zρ,dV=1Ml(integral0^c z,dzr)l(integral!0^aintegral0^bρ(x,y)dy,dxr)
Temos
integral0^c z,dz=c^22,integral0^aintegral0^bρ(x,y)dy,dx=a b+a b6=76ab
Portanto
zcm=tfracc^22cdottfrac76abtfrac76abc=c2

Resposta

xcm=tfrac1121a, ycm=tfrac1528b, zcm=tfracc2

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