Calcule a integral indefinida.
\int\left[\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}-\frac{3}{1+x^{2}}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl[\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{3}{1+x^{2}}\Bigr]\,dx.
O conteúdo da matéria é integração de funções elementares, em particular a integral de 1/\sqrt{1-x^{2}} (que gera arco-seno) e de 1/(1+x^{2}) (que gera arco-tangente).

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em duas integrais mais simples:
\int\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\,dx \;-\;3\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, note que
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \arcsin(x)+C.
Logo,
\int\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{1}{2}\,\arcsin(x).

Passo 4

Para a segunda parte, usamos que
\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x)+C.
Multiplicando por -3, obtemos
-3\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = -3\,\arctan(x).

Passo 5

Somando as duas partes e incorporando a constante de integração C, a primitiva é
\frac{1}{2}\,\arcsin(x)\;-\;3\,\arctan(x)\;+\;C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\arcsin(x)\;-\;3\,\arctan(x)\;+\;C

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