Q1. Determine a solução geral do sistema
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 0 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x} .

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares por autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo
\det(A - \lambda I) = 0.
Como
A - \lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & -2-\lambda\end{pmatrix},
temos
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)(-2-\lambda)=0,
logo
\lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=-2.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=2 resolvemos (A - 2I)\,v=0. Isto dá o sistema
\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1} \\[4pt] v_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix},
daí v_{2}=0 e podemos escolher v^{(1)}=(1,0)^{T}.]

Passo 4

Para \lambda_{2}=-2 resolvemos (A + 2I)\,v=0. Isto dá
\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1} \\[4pt] v_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix},
logo 4v_{1}+v_{2}=0, podemos escolher v^{(2)}=(1,-4)^{T}.]

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
\mathbf{x}(t) = C_{1}\,e^{2t}\,v^{(1)} + C_{2}\,e^{-2t}\,v^{(2)} = C_{1}\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.]

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_{1}\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados