Encontre a diferencial da função.
y=x /(1+2 x)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função
y = \frac{x}{1 + 2x}
Vamos usar a definição de diferencial
dy = y' \, dx
e calcular y' aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função de forma a aplicar a regra do produto:
y = x\,(1 + 2x)^{-1}

Passo 3

Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
y' = \frac{d}{dx}[\,x\,]\,(1 + 2x)^{-1} \;+\; x \,\frac{d}{dx}[(1 + 2x)^{-1}]
y' = 1\cdot(1 + 2x)^{-1} \;+\; x\cdot\bigl(-1\bigr)(1 + 2x)^{-2}\cdot 2

Passo 4

Agora simplificamos:
y' = (1 + 2x)^{-1} - 2x\,(1 + 2x)^{-2}
Colocando sobre denominador comum (1 + 2x)^2, obtemos
y' = \frac{1 + 2x - 2x}{(1 + 2x)^2} = \frac{1}{(1 + 2x)^2}.

Passo 5

Portanto, a diferencial da função é
dy = y'\,dx = \frac{1}{(1 + 2x)^2}\,dx.

Resposta

dy = \dfrac{1}{(1 + 2x)^2}\,dx

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