Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
17. integral sen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de sen(x^2) desenvolvida como série infinita. Para isso, vamos usar a série de Taylor (Maclaurin) de sen t em torno de t=0 e depois fazer a substituição t=x^2, integrando termo a termo.

Passo 2

Lembrando que a expansão de sen t é
sen t = sumn=0^infty (-1)^n,t^2n+1(2n+1)!,
válida para todo t.

Passo 3

Substituindo t = x^2 nessa série, obtemos
senl(x^2r) = sumn=0^infty (-1)^n,(x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral senl(x^2r),dx = integral sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+2(2n+1)!,dx = sumn=0^infty (-1)^n,1(2n+1)!integral x^4n+2,dx
Como integral x^4n+2,dx = x^4n+34n+3, segue
integral senl(x^2r),dx = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+3(2n+1)!,(4n+3) + C

Resposta

boxedintegral senl(x^2r),dx = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+3(2n+1)!,(4n+3) + C

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