Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
18. integral e^x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^x^3,dx
como uma série infinita. O que vamos usar é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) para a função exponencial e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que, para toda variável u,
e^u ;=;sumn=0^inftyu^nn!,
com raio de convergência infinito. Aqui basta tomar u = x^3, então
e^x^3 =sumn=0^infty(x^3)^nn! =sumn=0^inftyx^3nn!

Passo 3

Agora integramos termo a termo, já que a série converge uniformemente em todo R:
integral e^x^3,dx =integral sumn=0^inftyx^3nn!,dx =sumn=0^infty1n!integral x^3n,dx
E, para cada n,
integral x^3n,dx =x^3n+13n+1+Cn
Agrupando as constantes num único C, obtemos
integral e^x^3,dx =sumn=0^inftyx^3n+1(3n+1),n!+C

Resposta

boxedintegral e^x^3,dx =sumn=0^inftyx^3n+1(3n+1),n!+C

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