Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de
y=ln (1-x)e^x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
y=ln(1-x)e^x
usando multiplicação (ou divisão) de séries de potências. Vamos precisar das séries conhecidas de ln(1-x) e de e^x para então combinar (ou inverter) e obter os primeiros termos de y.

Passo 2

Começamos pelas séries conhecidas:
ln(1-x) = -sumn=1^inftyx^nn = -x - x^22 - x^33 - cdots
e^x = summ=0^inftyx^mm! = 1 + x + x^22 + x^36 + cdots
Como y=ln(1-x),e^-x, escrevemos também
e^-x = 1 - x + x^22 - x^36 + cdots

Passo 3

Agora truncamos ambas até a ordem x^3 e multiplicamos:
ln(1-x)approx -x - x^22 - x^33, e^-xapprox 1 - x + x^22 - x^36
O produto até x^3 é
l(-x - tfracx^22 - tfracx^33r) l(1 - x + tfracx^22 - tfracx^36r)

Passo 4

Coletando termos em cada potência de x:
– coeficiente de x:
-1cdot1 = -1
– coeficiente de x^2:
(-x)cdot(-x) + l(-tfracx^22r)cdot1 = 1 - tfrac12 = tfrac12
– coeficiente de x^3:
(-x)cdottfracx^22 + l(-tfracx^22r)cdot(-x) + l(-tfracx^33r)cdot1 = -tfrac12 + tfrac12 - tfrac13 = -tfrac13

Resposta

y = -x + x^22 - x^33 + cdots

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