Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.]
6. f(x)=cos x, a=-pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=cos x centrada em a=-pi/4.
Para isso vamos usar o conteúdo de séries de Taylor: a fórmula geral envolvendo derivadas de f avaliadas em a.

Passo 2

A fórmula da série de Taylor de f em torno de a é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Aqui teremos a=-pi/4 e precisaremos calcular f^(n)(-pi/4).

Passo 3

As derivadas de cos x são periódicas de ordem 4:
f(x)=cos x, f'(x)=-sin x, f''(x)=-cos x, f'''(x)=sin x, f^(4)(x)=cos x,dots
Avaliamo-las em x=-pi/4:
f(-tfracpi4)=raiz22, f'(-tfracpi4)=raiz22, f''(-tfracpi4)=-raiz22, f'''(-tfracpi4)=-raiz22,
e o padrão se repete a cada 4 ordens.

Passo 4

Substituindo na fórmula da série e agrupando em blocos de 4, temos
cos x =summ=0^inftyraiz22l[ (x+pi/4)^4m(4m)! +(x+pi/4)^4m+1(4m+1)! -(x+pi/4)^4m+2(4m+2)! -(x+pi/4)^4m+3(4m+3)! r]
Os primeiros termos são
raiz22l[ 1 + (x+tfracpi4) - (x+tfracpi4)^22! - (x+tfracpi4)^33! + (x+tfracpi4)^44! + cdots r]

Resposta

boxed cos x =summ=0^inftyraiz22l[ (x+pi/4)^4m(4m)! +(x+pi/4)^4m+1(4m+1)! -(x+pi/4)^4m+2(4m+2)! -(x+pi/4)^4m+3(4m+3)! r]

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