Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
11.
11.
Passo 1
O enunciado pede uma série de potências para
e o raio de convergência. Isso é um problema clássico de séries de Taylor (Maclaurin) usando as séries conhecidas de
e
para
.
Passo 2
Reescrevemos a função como diferença de logaritmos:
Passo 3
Para
temos as expansões padrão:
Passo 4
Subtraindo termo a termo:
Passo 5
Note que
se
é par e vale
se
é ímpar. Escrevendo
para as ordens ímpares,
Passo 6
Como cada série usada converge para
, o raio de convergência da combinação também é