Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
11. f(x)=ln (1+x1-x)

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências para
f(x)=ln!l(tfrac1+x1-xr)
e o raio de convergência. Isso é um problema clássico de séries de Taylor (Maclaurin) usando as séries conhecidas de ln(1+x) e ln(1-x) para |x|<1.

Passo 2

Reescrevemos a função como diferença de logaritmos:
f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)

Passo 3

Para |x|<1 temos as expansões padrão:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^,n+1,x^nn,
ln(1-x)=-sumn=1^inftyx^nn

Passo 4

Subtraindo termo a termo:
ln(1+x)-ln(1-x) =sumn=1^inftyl[(-1)^,n+1+!1r]x^nn

Passo 5

Note que (-1)^n+1+1=0 se n é par e vale 2 se n é ímpar. Escrevendo n=2k-1 para as ordens ímpares,
f(x) =2sumk=1^inftyx^2k-12k-1

Passo 6

Como cada série usada converge para |x|<1, o raio de convergência da combinação também é
R=1

Resposta

ln!l(tfrac1+x1-xr) =2sumk=1^inftyx^2k-12k-1, R=1

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