Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando uma série de potências. O exercício pede para calcular
e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como integrá-las termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que está dentro da integral,
, como uma série de potências. Sabemos que:
Isso é válido para
, ou seja, quando
.
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
para obter a série da função original:
Passo 4
Com a função escrita como uma série de potências, podemos integrar termo a termo:
Passo 5
Integrando cada termo da série:
Então, a integral fica:
Passo 6
Podemos simplificar a notação mudando o índice da soma. Vamos substituir
por
:
Passo 7
Agora, temos a integral expressa como uma série de potências:
Passo 8
Por fim, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série original
converge para
. Como a série da integral foi obtida a partir dessa, o raio de convergência também é 1.
Resposta
A integral indefinida é
e o raio de convergência dessa série é
.