Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral t1-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando uma série de potências. O exercício pede para calcular integral t1 - t^2 , dt e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como integrá-las termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que está dentro da integral, t1 - t^2, como uma série de potências. Sabemos que:
11 - t^2 = sumn=0^infty t^2n
Isso é válido para |t^2| < 1, ou seja, quando |t| < 1.

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por t para obter a série da função original:
t1 - t^2 = t cdot sumn=0^infty t^2n = sumn=0^infty t^2n + 1

Passo 4

Com a função escrita como uma série de potências, podemos integrar termo a termo:
integral t1 - t^2 , dt = integral sumn=0^infty t^2n + 1 , dt = sumn=0^infty integral t^2n + 1 , dt

Passo 5

Integrando cada termo da série:
integral t^2n + 1 , dt = t^2n + 22n + 2 + C
Então, a integral fica:
sumn=0^infty t^2n + 22n + 2 + C

Passo 6

Podemos simplificar a notação mudando o índice da soma. Vamos substituir n por n-1:
sumn=1^infty t^2n2n + C

Passo 7

Agora, temos a integral expressa como uma série de potências:
integral t1 - t^2 , dt = sumn=1^infty t^2n2n + C

Passo 8

Por fim, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série original 11 - t^2 converge para |t| < 1. Como a série da integral foi obtida a partir dessa, o raio de convergência também é 1.

Resposta

A integral indefinida é
integral t1 - t^2 , dt = sumn=1^infty t^2n2n + C
e o raio de convergência dessa série é 1.

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