Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte integral para resolver:
O conteúdo aqui envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para simplificar integrais que contêm expressões quadráticas sob raízes. Vamos usar essa estratégia para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se ajusta para uma substituição trigonométrica. Observamos que temos
. Queremos uma substituição que transforme essa expressão em uma forma mais simples. Para isso, vamos reescrever a expressão dentro da raiz:
Isso se parece com
, que sugere a substituição
.
Passo 3
Vamos definir a substituição trigonométrica adequada. Seja:
Dessa forma:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Continuando a simplificação:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Sabemos que
e a integral de
é
. Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos retornar à variável original
. Sabemos que:
Imagine um triângulo retângulo onde
. O lado oposto é
e a hipotenusa é
. O lado adjacente, então, é:
Portanto:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A integral resolvida é: