Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral d xx^2 raiz3-2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte integral para resolver:
integral dxx^2 raiz3 - 2x^2
O conteúdo aqui envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para simplificar integrais que contêm expressões quadráticas sob raízes. Vamos usar essa estratégia para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se ajusta para uma substituição trigonométrica. Observamos que temos raiz3 - 2x^2. Queremos uma substituição que transforme essa expressão em uma forma mais simples. Para isso, vamos reescrever a expressão dentro da raiz:
raiz3 - 2x^2 = raiz3 (1 - 23x^2)
Isso se parece com raiza^2 - (bx)^2, que sugere a substituição bx = a sintheta.

Passo 3

Vamos definir a substituição trigonométrica adequada. Seja:
x = raiz32 sintheta
Dessa forma:
x = raiz32 sintheta Rightarrow dx = raiz32 costheta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral dxx^2 raiz3 - 2x^2 = integral raiz32 costheta , dtheta(raiz32 sintheta)^2 raiz3 - 2(raiz32 sintheta)^2
Simplificando os termos:
= integral raiz32 costheta , dtheta32 sin^2theta raiz3 - 2 cdot 32 sin^2theta

Passo 5

Continuando a simplificação:
raiz3 - 3 sin^2theta = raiz3(1 - sin^2theta) = raiz3 cos^2theta = raiz3 costheta
Substituindo de volta na integral:
= integral raiz32 costheta , dtheta32 sin^2theta cdot raiz3 costheta = integral raiz3232 raiz3 sin^2theta , dtheta
Simplificando os coeficientes:
= integral raiz323 raiz32 sin^2theta , dtheta = integral raiz32 cdot 23 raiz3 sin^2theta , dtheta = integral 23 raiz2 sin^2theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que 1sin^2theta = csc^2theta e a integral de csc^2theta é -cottheta. Portanto:
integral 23 raiz2 csc^2theta , dtheta = 23 raiz2 (-cottheta) + C = -23 raiz2 cottheta + C

Passo 7

Agora, precisamos retornar à variável original x. Sabemos que:
x = raiz32 sintheta Rightarrow sintheta = xraiz32 = x raiz2raiz3
Imagine um triângulo retângulo onde sintheta = x raiz2raiz3. O lado oposto é x raiz2 e a hipotenusa é raiz3. O lado adjacente, então, é:
raizraiz3^2 - (x raiz2)^2 = raiz3 - 2x^2
Portanto:
cottheta = costhetasintheta = raiz3 - 2x^2x raiz2

Passo 8

Substituindo cottheta de volta na expressão:
-23 raiz2 cottheta + C = -23 raiz2 cdot raiz3 - 2x^2x raiz2 + C = -2 raiz3 - 2x^23 cdot 2 , x + C = -raiz3 - 2x^23x + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral dxx^2 raiz3 - 2x^2 = -raiz3 - 2x^23x + C

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