Encontre a matriz adjunta de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de matrizes onde precisamos encontrar a matriz adjunta de quatro matrizes 3x3 diferentes. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que é a matriz adjunta e como calculá-la passo a passo. Vamos descomplicar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz adjunta. A matriz adjunta (ou adjugate) de uma matriz quadrada é a transposta da matriz dos cofatores dessa matriz. Ou seja, para encontrar a adjunta, seguimos dois passos principais:
- Encontrar os cofatores de cada elemento da matriz original.
- Transpor essa matriz de cofatores.
Vamos aplicar isso nas matrizes que você enviou.
Passo 3
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de
A .
Passo 4
Para encontrar um cofator
Cij , onde
i é a linha e
j é a coluna, fazemos o seguinte:
- Menor: Remova a linha
e a colunai e encontre o determinante da matriz resultante 2x2.j - Sinal: Multiplique o menor por
.(-1)^i+j
Vamos calcular cada cofator de
A :
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det(2 & 34 & 8) = 1 cdot (2*8 - 3*4) = 1 cdot (16 - 12) = 4 -
C12 = (-1)^1+2 cdot det(-1 & 31 & 8) = -1 cdot (-1*8 - 3*1) = -1 cdot (-8 - 3) = -1 cdot (-11) = 11 -
C13 = (-1)^1+3 cdot det(-1 & 21 & 4) = 1 cdot (-1*4 - 2*1) = 1 cdot (-4 - 2) = -6 -
C21 = (-1)^2+1 cdot det(1 & 34 & 8) = -1 cdot (1*8 - 3*4) = -1 cdot (8 - 12) = 4 -
C22 = (-1)^2+2 cdot det(5 & 31 & 8) = 1 cdot (5*8 - 3*1) = 1 cdot (40 - 3) = 37 -
C23 = (-1)^2+3 cdot det(5 & 11 & 4) = -1 cdot (5*4 - 1*1) = -1 cdot (20 - 1) = -19 -
C31 = (-1)^3+1 cdot det(1 & 32 & 3) = 1 cdot (1*3 - 3*2) = 1 cdot (3 - 6) = -3 -
C32 = (-1)^3+2 cdot det(5 & 3-1 & 3) = -1 cdot (5*3 - 3*(-1)) = -1 cdot (15 + 3) = -18 -
C33 = (-1)^3+3 cdot det(5 & 1-1 & 2) = 1 cdot (5*2 - 1*(-1)) = 1 cdot (10 + 1) = 11
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz de cofatores:
Em seguida, a matriz adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
Passo 6
Vamos repetir o processo para a segunda matriz:
Calculando os cofatores de
B :
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1 cdot 1 = 1 -
C12 = (-1)^1+2 cdot det(3 & 00 & 1) = -1 cdot (3*1 - 0*0) = -3 -
C13 = (-1)^1+3 cdot det(3 & 10 & -1) = 1 cdot (3*(-1) - 1*0) = -3 -
C21 = (-1)^2+1 cdot det(-1 & 2-1 & 1) = -1 cdot (-1*1 - 2*(-1)) = -1 cdot (-1 + 2) = -1 -
C22 = (-1)^2+2 cdot det(1 & 20 & 1) = 1 cdot (1*1 - 2*0) = 1 -
C23 = (-1)^2+3 cdot det(1 & -10 & -1) = -1 cdot (1*(-1) - (-1)*0) = 1 -
C31 = (-1)^3+1 cdot det(-1 & 21 & 0) = 1 cdot (-1*0 - 2*1) = -2 -
C32 = (-1)^3+2 cdot det(1 & 23 & 0) = -1 cdot (1*0 - 2*3) = 6 -
C33 = (-1)^3+3 cdot det(1 & -13 & 1) = 1 cdot (1*1 - (-1)*3) = 4
Passo 7
Montando a matriz de cofatores de
B :
Transpondo para obter a adjunta:
Passo 8
Agora, vamos para a terceira matriz:
Calculando os cofatores de
C :
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1 -
C12 = (-1)^1+2 cdot det(-1 & 00 & 1) = -1 cdot (-1*1 - 0*0) = 1 -
C13 = (-1)^1+3 cdot det(-1 & 10 & -1) = 1 cdot (-1*(-1) - 1*0) = 1 -
C21 = (-1)^2+1 cdot det(0 & -1-1 & 1) = -1 cdot (0*1 - (-1)*(-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1 -
C22 = (-1)^2+2 cdot det(1 & -10 & 1) = 1 cdot (1*1 - (-1)*0) = 1 -
C23 = (-1)^2+3 cdot det(1 & 00 & -1) = -1 cdot (1*(-1) - 0*0) = 1 -
C31 = (-1)^3+1 cdot det(0 & -11 & 0) = 1 cdot (0*0 - (-1)*1) = 1 -
C32 = (-1)^3+2 cdot det(1 & -1-1 & 0) = -1 cdot (1*0 - (-1)*(-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1 -
C33 = (-1)^3+3 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1
Passo 9
Montando a matriz de cofatores de
C :
Transpondo para obter a adjunta:
Passo 10
Por fim, temos a quarta matriz:
Primeiro, vamos considerar a matriz sem o fator
13 :
Calculando os cofatores de
D' :
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3 -
C12 = (-1)^1+2 cdot det(2 & 22 & -1) = -1 cdot (2*(-1) - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6 -
C13 = (-1)^1+3 cdot det(2 & -12 & 2) = 1 cdot (2*2 - (-1)*2) = 1 cdot (4 + 2) = 6 -
C21 = (-1)^2+1 cdot det(2 & 22 & -1) = -1 cdot (2*(-1) - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6 -
C22 = (-1)^2+2 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3 -
C23 = (-1)^2+3 cdot det(-1 & 22 & 2) = -1 cdot ((-1)*2 - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6 -
C31 = (-1)^3+1 cdot det(2 & 2-1 & 2) = 1 cdot (2*2 - 2*(-1)) = 1 cdot (4 + 2) = 6 -
C32 = (-1)^3+2 cdot det(-1 & 22 & 2) = -1 cdot ((-1)*2 - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6 -
C33 = (-1)^3+3 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3
Passo 11
Montando a matriz de cofatores de
D' :
Transpondo para obter a adjunta de
D' :
Agora, lembrando que
D = 13D' , a adjunta de
D será:
Resposta
As matrizes adjuntas são: