Encontre a matriz adjunta de cada uma das seguintes matrizes:
[ccc 5 & 1 & 3 -1 & 2 & 3 1 & 4 & 8 ], [ccc 1 & -1 & 2 3 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ], [ccc 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ], 13[ccc -1 & 2 & 2 2 & -1 & 2 2 & 2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de matrizes onde precisamos encontrar a matriz adjunta de quatro matrizes 3x3 diferentes. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que é a matriz adjunta e como calculá-la passo a passo. Vamos descomplicar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz adjunta. A matriz adjunta (ou adjugate) de uma matriz quadrada é a transposta da matriz dos cofatores dessa matriz. Ou seja, para encontrar a adjunta, seguimos dois passos principais:
  1. Encontrar os cofatores de cada elemento da matriz original.
  2. Transpor essa matriz de cofatores.
Vamos aplicar isso nas matrizes que você enviou.

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz:
A = 5 & 1 & 3 -1 & 2 & 3 1 & 4 & 8
Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de A .

Passo 4

Para encontrar um cofator Cij , onde i é a linha e j é a coluna, fazemos o seguinte:
  1. Menor: Remova a linha i e a coluna j e encontre o determinante da matriz resultante 2x2.
  2. Sinal: Multiplique o menor por (-1)^i+j .
Vamos calcular cada cofator de A :
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det(2 & 34 & 8) = 1 cdot (2*8 - 3*4) = 1 cdot (16 - 12) = 4
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det(-1 & 31 & 8) = -1 cdot (-1*8 - 3*1) = -1 cdot (-8 - 3) = -1 cdot (-11) = 11
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det(-1 & 21 & 4) = 1 cdot (-1*4 - 2*1) = 1 cdot (-4 - 2) = -6
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det(1 & 34 & 8) = -1 cdot (1*8 - 3*4) = -1 cdot (8 - 12) = 4
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det(5 & 31 & 8) = 1 cdot (5*8 - 3*1) = 1 cdot (40 - 3) = 37
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(5 & 11 & 4) = -1 cdot (5*4 - 1*1) = -1 cdot (20 - 1) = -19
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det(1 & 32 & 3) = 1 cdot (1*3 - 3*2) = 1 cdot (3 - 6) = -3
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det(5 & 3-1 & 3) = -1 cdot (5*3 - 3*(-1)) = -1 cdot (15 + 3) = -18
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det(5 & 1-1 & 2) = 1 cdot (5*2 - 1*(-1)) = 1 cdot (10 + 1) = 11

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz de cofatores:
Cofatores = 4 & 11 & -6 4 & 37 & -19 -3 & -18 & 11
Em seguida, a matriz adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
Adjunta = 4 & 4 & -3 11 & 37 & -18 -6 & -19 & 11

Passo 6

Vamos repetir o processo para a segunda matriz:
B = 1 & -1 & 2 3 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Calculando os cofatores de B :
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1 cdot 1 = 1
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det(3 & 00 & 1) = -1 cdot (3*1 - 0*0) = -3
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det(3 & 10 & -1) = 1 cdot (3*(-1) - 1*0) = -3
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det(-1 & 2-1 & 1) = -1 cdot (-1*1 - 2*(-1)) = -1 cdot (-1 + 2) = -1
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det(1 & 20 & 1) = 1 cdot (1*1 - 2*0) = 1
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(1 & -10 & -1) = -1 cdot (1*(-1) - (-1)*0) = 1
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det(-1 & 21 & 0) = 1 cdot (-1*0 - 2*1) = -2
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det(1 & 23 & 0) = -1 cdot (1*0 - 2*3) = 6
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det(1 & -13 & 1) = 1 cdot (1*1 - (-1)*3) = 4

Passo 7

Montando a matriz de cofatores de B :
Cofatores = 1 & -3 & -3 -1 & 1 & 1 -2 & 6 & 4
Transpondo para obter a adjunta:
Adjunta = 1 & -1 & -2 -3 & 1 & 6 -3 & 1 & 4

Passo 8

Agora, vamos para a terceira matriz:
C = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Calculando os cofatores de C :
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det(-1 & 00 & 1) = -1 cdot (-1*1 - 0*0) = 1
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det(-1 & 10 & -1) = 1 cdot (-1*(-1) - 1*0) = 1
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det(0 & -1-1 & 1) = -1 cdot (0*1 - (-1)*(-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det(1 & -10 & 1) = 1 cdot (1*1 - (-1)*0) = 1
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(1 & 00 & -1) = -1 cdot (1*(-1) - 0*0) = 1
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det(0 & -11 & 0) = 1 cdot (0*0 - (-1)*1) = 1
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det(1 & -1-1 & 0) = -1 cdot (1*0 - (-1)*(-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det(1 & 0-1 & 1) = 1 cdot (1*1 - 0*(-1)) = 1

Passo 9

Montando a matriz de cofatores de C :
Cofatores = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Transpondo para obter a adjunta:
Adjunta = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 10

Por fim, temos a quarta matriz:
D = 13 -1 & 2 & 2 2 & -1 & 2 2 & 2 & -1
Primeiro, vamos considerar a matriz sem o fator 13:
D' = -1 & 2 & 2 2 & -1 & 2 2 & 2 & -1
Calculando os cofatores de D' :
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det(2 & 22 & -1) = -1 cdot (2*(-1) - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det(2 & -12 & 2) = 1 cdot (2*2 - (-1)*2) = 1 cdot (4 + 2) = 6
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det(2 & 22 & -1) = -1 cdot (2*(-1) - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(-1 & 22 & 2) = -1 cdot ((-1)*2 - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det(2 & 2-1 & 2) = 1 cdot (2*2 - 2*(-1)) = 1 cdot (4 + 2) = 6
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det(-1 & 22 & 2) = -1 cdot ((-1)*2 - 2*2) = -1 cdot (-2 - 4) = 6
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det(-1 & 22 & -1) = 1 cdot ((-1)*(-1) - 2*2) = 1 cdot (1 - 4) = -3

Passo 11

Montando a matriz de cofatores de D' :
Cofatores = -3 & 6 & 6 6 & -3 & 6 6 & 6 & -3
Transpondo para obter a adjunta de D' :
Adjunta de D' = -3 & 6 & 6 6 & -3 & 6 6 & 6 & -3
Agora, lembrando que D = 13D' , a adjunta de D será:
Adjunta de D = 13 cdot Adjunta de D' = 13 -3 & 6 & 6 6 & -3 & 6 6 & 6 & -3 = -1 & 2 & 2 2 & -1 & 2 2 & 2 & -1

Resposta

As matrizes adjuntas são:
4 & 4 & -3 11 & 37 & -18 -6 & -19 & 11
1 & -1 & -2 -3 & 1 & 6 -3 & 1 & 4
1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
-1 & 2 & 2 2 & -1 & 2 2 & 2 & -1

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