Integração por partes Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral e^k x cos (ell x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^k x cos (ell x) , dx. Esse exercício envolve o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente. Vamos precisar lembrar das fórmulas da integração por partes e aplicar um pouco de álgebra para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No nosso caso, vamos deixar:
u = e^k x e dv = cos (ell x) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx e^k x , dx = k e^k x , dx
v = integral cos (ell x) , dx = sin (ell x)ell

Passo 4

Substituindo u, v, du e dv na fórmula da integração por partes:
integral e^k x cos (ell x) , dx = e^k x cdot sin (ell x)ell - integral sin (ell x)ell cdot k e^k x , dx
Simplificando:
integral e^k x cos (ell x) , dx = e^k x sin (ell x)ell - kell integral e^k x sin (ell x) , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^k x sin (ell x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo. Desta vez, deixamos:
u = e^k x e dv = sin (ell x) , dx
Calculando du e v:
du = k e^k x , dx
v = -cos (ell x)ell

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^k x sin (ell x) , dx = e^k x cdot (-cos (ell x)ell) - integral (-cos (ell x)ell) cdot k e^k x , dx
Simplificando:
integral e^k x sin (ell x) , dx = -e^k x cos (ell x)ell + kell integral e^k x cos (ell x) , dx

Passo 7

Vamos substituir essa expressão de volta na equação que obtivemos no Passo 4:
integral e^k x cos (ell x) , dx = e^k x sin (ell x)ell - kell ( -e^k x cos (ell x)ell + kell integral e^k x cos (ell x) , dx )
Simplificando:
integral e^k x cos (ell x) , dx = e^k x sin (ell x)ell + k e^k x cos (ell x)ell^2 - k^2ell^2 integral e^k x cos (ell x) , dx

Passo 8

Agora, vamos chamar a integral que queremos encontrar de I:
I = integral e^k x cos (ell x) , dx
Substituindo na equação:
I = e^k x sin (ell x)ell + k e^k x cos (ell x)ell^2 - k^2ell^2 I

Passo 9

Vamos isolar I na equação:
I + k^2ell^2 I = e^k x sin (ell x)ell + k e^k x cos (ell x)ell^2
Fatorando I:
I (1 + k^2ell^2) = e^k x sin (ell x)ell + k e^k x cos (ell x)ell^2

Passo 10

Agora, resolvemos para I:
I = e^k x sin (ell x)ell + k e^k x cos (ell x)ell^21 + k^2ell^2
Multiplicando numerador e denominador por ell^2:
I = e^k x sin (ell x) cdot ell + k e^k x cos (ell x)ell^2 + k^2

Resposta

A integral é igual a
integral e^k x cos (ell x) , dx = e^k x (k cos (ell x) + ell sin (ell x))k^2 + ell^2 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados