Integração por partes Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente. Vamos precisar lembrar das fórmulas da integração por partes e aplicar um pouco de álgebra para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. No nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo. Desta vez, deixamos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir essa expressão de volta na equação que obtivemos no Passo 4:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos chamar a integral que queremos encontrar de
:
Substituindo na equação:
Passo 9
Vamos isolar
na equação:
Fatorando
:
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.