O enunciado pede para calcular o limite quando n cresce sem fim da sequência \dfrac{\sin n}{n}. Informações dadas e observações iniciais:
A expressão é \dfrac{\sin n}{n}.
Aqui n é o índice que tende a +\infty (ou seja, n\to\infty); normalmente interpretamos n como números inteiros positivos.
A função seno toma valores entre -1 e 1; isto é, para todo número real t vale -1\le \sin t\le 1.
A tarefa: determinar \lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}.
Passo 2
Usar uma desigualdade simples que vale para todo n. Pelo item anterior, para todo n temos -1\le \sin n\le 1. Como n>0 quando estamos enviando n\to\infty, podemos dividir a desigualdade por n (dividir por número positivo preserva as desigualdades) e obter:
Justificativa rápida: \dfrac{1}{n} é uma sequência positiva que vai a 0 porque o denominador cresce sem limite; portanto seu recíproco tende a zero.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Esse teorema diz: se para três sequências b_n\le a_n\le c_n e \lim b_n=\lim c_n=L, então \lim a_n=L. No nosso caso tomamos
e já vimos que \lim b_n=\lim c_n=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}=0.
Passo 5
Se quiser ver uma prova formal com \varepsilon-N, aqui vai (rápida e direta): seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N vale