Determine \lim \frac{\sin n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando n cresce sem fim da sequência \dfrac{\sin n}{n}. Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{\sin n}{n}.
  • Aqui n é o índice que tende a +\infty (ou seja, n\to\infty); normalmente interpretamos n como números inteiros positivos.
  • A função seno toma valores entre -1 e 1; isto é, para todo número real t vale -1\le \sin t\le 1.
    A tarefa: determinar \lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}.

Passo 2

Usar uma desigualdade simples que vale para todo n. Pelo item anterior, para todo n temos -1\le \sin n\le 1. Como n>0 quando estamos enviando n\to\infty, podemos dividir a desigualdade por n (dividir por número positivo preserva as desigualdades) e obter:
-\dfrac{1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n}.
Expliquei o porquê: dividir a desigualdade -1\le \sin n\le 1 por n>0 dá exatamente essa cadeia de desigualdades.

Passo 3

Agora note o comportamento das sequências -\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n} quando n\to\infty. Ambas tendem a zero:
\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Justificativa rápida: \dfrac{1}{n} é uma sequência positiva que vai a 0 porque o denominador cresce sem limite; portanto seu recíproco tende a zero.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Esse teorema diz: se para três sequências b_n\le a_n\le c_n e \lim b_n=\lim c_n=L, então \lim a_n=L. No nosso caso tomamos
b_n=-\dfrac{1}{n},\quad a_n=\dfrac{\sin n}{n},\quad c_n=\dfrac{1}{n},
e já vimos que \lim b_n=\lim c_n=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}=0.

Passo 5

Se quiser ver uma prova formal com \varepsilon- N, aqui vai (rápida e direta): seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N vale
\left|\dfrac{\sin n}{n}-0\right|=\dfrac{|\sin n|}{n}\le\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra a convergência para 0 segundo a definição \varepsilon- N.

Resposta

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