Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3 / 4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3/4}\,dx
e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas (explicitadas): a função a integrar é x^{2} multiplicada por \left(x^{3}+1\right)^{3/4}. Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia principal (substituição): quando dentro da integral aparece uma função composta como \left(x^{3}+1\right)^{3/4} e também encontramos algo que se parece com a derivada de x^{3}+1 (aqui \,\!3x^{2}\,), vale a pena fazer a substituição
u = x^{3}+1.
Explicando a técnica de forma didática: a substituição consiste em trocar a variável x por uma nova variável u=g(x) para simplificar a integral. Se u=g(x), então du = g'(x)\,dx. Em integrandos do tipo f(g(x))g'(x)\,dx, a substituição transforma em \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples. Exemplo rápido: \int \cos(3x)\,dx. Fazendo u=3x temos du=3\,dx e a integral vira \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u)+C.
Agora aplicando aqui: com u=x^{3}+1 temos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3/4}\,dx = \int \left(u\right)^{3/4}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{3/4}\,du.
Agora aplicamos a regra do expoente (regra da potência) para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{3}{4}, então n+1=\tfrac{7}{4}. Assim
\frac{1}{3}\int u^{3/4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{7/4}}{7/4}+C.

Passo 4

Simplificando a constante:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7/4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7}=\frac{4}{21}.
Voltando para x com u=x^{3}+1, a primitiva (antiderivada) é
F(x)=\frac{4}{21}\left(x^{3}+1\right)^{7/4}+C.

Passo 5

Conferir derivando (uso da regra da cadeia): se F(x)=\dfrac{4}{21}\left(x^{3}+1\right)^{7/4}, então
F'(x)=\frac{4}{21}\cdot\frac{7}{4}\left(x^{3}+1\right)^{7/4-1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3}+1).
Calculando passo a passo: \dfrac{4}{21}\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}. Também \dfrac{d}{dx}(x^{3}+1)=3x^{2}. E 7/4-1=3/4. Portanto
F'(x)=\frac{1}{3}\left(x^{3}+1\right)^{3/4}\cdot 3x^{2}=x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3/4},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\frac{4}{21}\left(x^{3}+1\right)^{7/4}+C

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