Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas (explicitadas): a função a integrar é multiplicada por
. Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração
.
Informações dadas (explicitadas): a função a integrar é
Passo 2
Ideia principal (substituição): quando dentro da integral aparece uma função composta como
e também encontramos algo que se parece com a derivada de
(aqui
), vale a pena fazer a substituição
Explicando a técnica de forma didática: a substituição consiste em trocar a variável
por uma nova variável
para simplificar a integral. Se
, então
. Em integrandos do tipo
, a substituição transforma em
, que costuma ser mais simples. Exemplo rápido:
. Fazendo
temos
e a integral vira
.
Agora aplicando aqui: com
temos
Passo 3
Substituindo na integral:
Agora aplicamos a regra do expoente (regra da potência) para integrais: para
,
Aqui
, então
. Assim
Passo 4
Simplificando a constante:
Voltando para
com
, a primitiva (antiderivada) é
Passo 5
Conferir derivando (uso da regra da cadeia): se
, então
Calculando passo a passo:
. Também
. E
. Portanto
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva encontrada está correta.