Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \sqrt{4 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{4x-1}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função integranda é \sqrt{4x-1}, que corresponde a (4x-1)^{1/2}.
  • Para que a raiz quadrada seja real, precisamos de 4x-1\ge 0, ou seja x\ge \tfrac{1}{4}. (Isso só importa se quisermos domínio real da primitiva.)
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) F(x) tal que F'(x)=\sqrt{4x-1} e depois conferir diferenciando a resposta.

Passo 2

Ideia de transformação: notar que dentro da raiz aparece uma expressão linear em x, 4x-1. Uma técnica padrão é fazer a substituição
u = 4x-1,
porque assim a raiz fica u^{1/2} e a integral fica mais simples. Agora calculemos du em função de dx.

Passo 3

Diferenciando \displaystyle u=4x-1 obtemos
du = 4\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{4}.
Substituímos na integral original: \sqrt{4x-1} = u^{1/2} e dx=\dfrac{du}{4}. Assim a integral vira
\int \sqrt{4x-1}\,dx = \int u^{1/2}\cdot \frac{du}{4}.

Passo 4

Fatorando a constante \dfrac{1}{4} para fora da integral:
\int u^{1/2}\cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{6}u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltando à variável x (substituindo u=4x-1):
\int \sqrt{4x-1}\,dx = \frac{1}{6}(4x-1)^{3/2} + C.
Pronto: temos a primitiva expressa em função de x.

Passo 7

Agora vamos conferir a resposta derivando a primitiva encontrada e verificando que voltamos ao integrando. Seja
F(x)=\frac{1}{6}(4x-1)^{3/2}.
Usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que, se F(x)=g(h(x)), então F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g(u)=\dfrac{1}{6}u^{3/2} e h(x)=4x-1.

Passo 8

Primeiro derivamos g(u)=\dfrac{1}{6}u^{3/2} em relação a u:
g'(u)=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}u^{1/2} = \frac{3}{12}u^{1/2} = \frac{1}{4}u^{1/2}.
Depois derivamos h(x)=4x-1:
h'(x)=4.
Aplicando a regra da cadeia:
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) = \left(\frac{1}{4}(4x-1)^{1/2}\right)\cdot 4.

Passo 9

Simplificando o produto:
F'(x)=\frac{1}{4}\cdot 4\cdot(4x-1)^{1/2} = (4x-1)^{1/2} = \sqrt{4x-1}.
Isso é exatamente o integrando original, portanto a primitiva está correta. Lembre que devemos acrescentar a constante arbitrária C na primitiva.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}(4x-1)^{3/2}+C

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