Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações importantes:
- A função integranda é
, que corresponde a . - Para que a raiz quadrada seja real, precisamos de
, ou seja . (Isso só importa se quisermos domínio real da primitiva.) - A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva)
tal que e depois conferir diferenciando a resposta.
Passo 2
Ideia de transformação: notar que dentro da raiz aparece uma expressão linear em
,
. Uma técnica padrão é fazer a substituição
porque assim a raiz fica
e a integral fica mais simples. Agora calculemos
em função de
.
Passo 3
Diferenciando
obtemos
Isolando
temos
Substituímos na integral original:
e
. Assim a integral vira
Passo 4
Fatorando a constante
para fora da integral:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Voltando à variável
(substituindo
):
Pronto: temos a primitiva expressa em função de
.
Passo 7
Agora vamos conferir a resposta derivando a primitiva encontrada e verificando que voltamos ao integrando. Seja
Usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que, se
, então
. Aqui
e
.
Passo 8
Primeiro derivamos
em relação a
:
Depois derivamos
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 9
Simplificando o produto:
Isso é exatamente o integrando original, portanto a primitiva está correta. Lembre que devemos acrescentar a constante arbitrária
na primitiva.