Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int x\left(x^{2}+1\right)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
\int x\left(x^{2}+1\right)^{5}\,dx
e que, depois, verifiquemos (conferimos) a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações relevantes dadas: o integrando é x\left(x^{2}+1\right)^{5} e a integral é indefinida (há constante de integração C).

Passo 2

Observação para escolher o método (explicação didática): quando aparece uma expressão do tipo \left(\text{algo}\right)^{n} e dentro do integrando surge também a derivada (ou algo proporcional à derivada) desse “algo”, a técnica mais simples é a substituição (u-substituição). Aqui o “algo” é \left(x^{2}+1\right) e a sua derivada é 2x, que é proporcional ao fator x que já temos no integrando. Por isso vamos usar a substituição
u = x^{2}+1.
A ideia é trocar a variável x por u para transformar a integral numa forma do tipo \int u^{n}\,du, que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 3

Calculemos du a partir da substituição escolhida:
u = x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque no integrando temos exatamente x\,dx):
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Agora fazemos a troca na integral original: substituímos \left(x^{2}+1\right) por u e x\,dx por \dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x\left(x^{2}+1\right)^{5}\,dx = \int \left(u^{5}\right)\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Tirando a constante \dfrac{1}{2} para fora da integral:
\int x\left(x^{2}+1\right)^{5}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{5}\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra do poder para integrais (explicação didática): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=5, então
\frac{1}{2}\int u^{5}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C = \frac{u^{6}}{12}+C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituição inversa u=x^{2}+1):
\frac{u^{6}}{12}+C = \frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{12}+C.
Essa é a primitiva (antiderivada) encontrada.

Passo 7

Verificação (derivando para conferir): vamos derivar
F(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{12}
para checar se F'(x) retorna o integrando. Usamos a regra da cadeia (explicação didática): a derivada de g(h(x)) é g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g(u)=u^{6} e h(x)=x^{2}+1, então g'(u)=6u^{5} e h'(x)=2x. Calculando:
F'(x)=\frac{1}{12}\cdot 6\left(x^{2}+1\right)^{5}\cdot 2x.
Agora simplificamos os fatores numéricos:
\frac{1}{12}\cdot 6\cdot 2x = \frac{12}{12}x = x.
Portanto
F'(x)=x\left(x^{2}+1\right)^{5},
que é exatamente o integrando. A verificação está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{12}+C

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