Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
e que, depois, verifiquemos (conferimos) a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações relevantes dadas: o integrando é e a integral é indefinida (há constante de integração
).
Informações relevantes dadas: o integrando é
Passo 2
Observação para escolher o método (explicação didática): quando aparece uma expressão do tipo
e dentro do integrando surge também a derivada (ou algo proporcional à derivada) desse “algo”, a técnica mais simples é a substituição (u-substituição). Aqui o “algo” é
e a sua derivada é
, que é proporcional ao fator
que já temos no integrando. Por isso vamos usar a substituição
A ideia é trocar a variável
por
para transformar a integral numa forma do tipo
, que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 3
Calculemos
a partir da substituição escolhida:
Isolando
(porque no integrando temos exatamente
):
Passo 4
Agora fazemos a troca na integral original: substituímos
por
e
por
. Assim
Tirando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Aplicamos a regra do poder para integrais (explicação didática): para
,
Aqui
, então
Passo 6
Voltando à variável original
(substituição inversa
):
Essa é a primitiva (antiderivada) encontrada.
Passo 7
Verificação (derivando para conferir): vamos derivar
para checar se
retorna o integrando. Usamos a regra da cadeia (explicação didática): a derivada de
é
. Aqui
e
, então
e
. Calculando:
Agora simplificamos os fatores numéricos:
Portanto
que é exatamente o integrando. A verificação está correta.