O que o enunciado pede: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y').
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que eu uso): \operatorname{cotg} é a cotangente e \operatorname{cossec} é a cossecante, portanto posso reescrever a função como
y=\cot\bigl(\csc x\bigr).
Condições de existência (importante para a derivada): \csc x está definida quando \sin x\neq 0. Além disso, a cotangente está definida quando seu argumento não é múltiplo de \pi; ou seja, devemos ter \csc x \notin \{\;k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\;\}. Essas restrições serão úteis ao avaliar resultados numéricos, mas não impedem a diferenciação simbólica.
Passo 2
Plano de ataque (passo a passo matemático que vou aplicar): trata-se de uma composição de funções (uma função dentro da outra): primeiro x\mapsto \csc x e depois u\mapsto \cot u. Para derivar composições usamos a regra da cadeia. Vou enunciar e explicar essa regra com calma.
Regra da cadeia (explicação didática): se temos duas funções f e g e definimos h(x)=f(g(x)), então a derivada de h é dada por
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
O raciocínio é: a variação de h quando x muda tem duas contribuições — a variação de g(x) e como f reage a essa variação de g. Na prática: calcule a derivada da função externa f avaliando-a na função interna g(x), e multiplique pela derivada da função interna g.
Aqui temos f(u)=\cot u e g(x)=\csc x. Vou então calcular separadamente f'(u) e g'(x) e depois aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Identificação das funções internas/externas de forma explícita:
u=\csc x \quad\text{(função interna)},
y=\cot u \quad\text{(função externa, com \(u\) dependente de \(x\))}.
Repare que \csc^2\bigl(\csc x\bigr) significa \bigl(\csc\bigl(\csc x\bigr)\bigr)^2: é a função \csc aplicada a \csc x, elevada ao quadrado. Não é \csc^2 x.
As restrições de domínio lembradas no Passo 1 continuam válidas: \sin x\neq 0 e \csc x\notin\{k\pi\} para a expressão estar bem definida.
Se precisar avaliar numericamente, primeiro calcule \csc x (desde que \sin x\neq 0), depois avalie \csc(\csc x) e \cot x, e aplique a fórmula acima.
Exemplo rápido (para fixar a ideia): com x=\pi/6 temos \sin x=\tfrac12 então \csc x=2. Então