Derive
f(x)=y=\operatorname{cotg}(\operatorname{cossec} x)

Passo 1

Dado: a função y definida por
y=\operatorname{cotg}(\operatorname{cossec} x).
O que o enunciado pede: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y').
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que eu uso): \operatorname{cotg} é a cotangente e \operatorname{cossec} é a cossecante, portanto posso reescrever a função como
y=\cot\bigl(\csc x\bigr).
Condições de existência (importante para a derivada): \csc x está definida quando \sin x\neq 0. Além disso, a cotangente está definida quando seu argumento não é múltiplo de \pi; ou seja, devemos ter \csc x \notin \{\;k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\;\}. Essas restrições serão úteis ao avaliar resultados numéricos, mas não impedem a diferenciação simbólica.

Passo 2

Plano de ataque (passo a passo matemático que vou aplicar): trata-se de uma composição de funções (uma função dentro da outra): primeiro x\mapsto \csc x e depois u\mapsto \cot u. Para derivar composições usamos a regra da cadeia. Vou enunciar e explicar essa regra com calma.
Regra da cadeia (explicação didática): se temos duas funções f e g e definimos h(x)=f(g(x)), então a derivada de h é dada por
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
O raciocínio é: a variação de h quando x muda tem duas contribuições — a variação de g(x) e como f reage a essa variação de g. Na prática: calcule a derivada da função externa f avaliando-a na função interna g(x), e multiplique pela derivada da função interna g.
Aqui temos f(u)=\cot u e g(x)=\csc x. Vou então calcular separadamente f'(u) e g'(x) e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Identificação das funções internas/externas de forma explícita:
u=\csc x \quad\text{(função interna)},çã
y=\cot u \quad\text{(função externa, com \(u\) dependente de \(x\))}.çã
Portanto, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)\Big|_{u=\csc x}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora vou calcular cada fator separadamente.

Passo 4

Derivada da função externa f(u)=\cot u.
Explicação e cálculo passo a passo (usando a definição \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u} e a regra do quociente):
\cot u=\frac{\cos u}{\sin u}.
Aplicando a regra do quociente \bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)'=\tfrac{p'q-pq'}{q^2} com p=\cos u e q=\sin u:
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)=\frac{(-\sin u)\cdot\sin u - \cos u\cdot\cos u}{\sin^2 u}.
No numerador juntamos os termos:
(-\sin u)\sin u - \cos u\cos u = -\bigl(\sin^2 u+\cos^2 u\bigr) = -1,
pois \sin^2 u+\cos^2 u=1. Logo
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)=-\frac{1}{\sin^2 u} = -\csc^2 u.
Resumo: \dfrac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)=-\csc^2 u. Aqui u é a variável da função externa; depois substituiremos u=\csc x.

Passo 5

Derivada da função interna u(x)=\csc x.
Explicação e cálculo passo a passo (usando a definição \csc x=\dfrac{1}{\sin x}):
\csc x=\frac{1}{\sin x}.
Derivando usando a regra do quociente ou da potência negativa:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl((\sin x)^{-1}\bigr)= -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x.
Reescrevendo isso em termos de cotangente e cossecante:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.
Resumo: \dfrac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\csc x\cot x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores.
Temos
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)=-\csc^2 u
avaliado em u=\csc x, isto é -\csc^2\bigl(\csc x\bigr), e
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\csc x\cot x.
Multiplicando conforme a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = -\csc^2\bigl(\csc x\bigr)\cdot\bigl(-\csc x\cot x\bigr).
Os sinais negativos se cancelam:
\frac{dy}{dx} = \csc^2\bigl(\csc x\bigr)\cdot \csc x\cot x.

Passo 7

Simplificação final e observações.
Expressão final da derivada — organizada e legível:
\boxed{\frac{dy}{dx} = \csc^2\bigl(\csc x\bigr)\,\csc x\,\cot x.}
Observações úteis para a prova:
  • Repare que \csc^2\bigl(\csc x\bigr) significa \bigl(\csc\bigl(\csc x\bigr)\bigr)^2: é a função \csc aplicada a \csc x, elevada ao quadrado. Não é \csc^2 x.
  • As restrições de domínio lembradas no Passo 1 continuam válidas: \sin x\neq 0 e \csc x\notin\{k\pi\} para a expressão estar bem definida.
  • Se precisar avaliar numericamente, primeiro calcule \csc x (desde que \sin x\neq 0), depois avalie \csc(\csc x) e \cot x, e aplique a fórmula acima.
Exemplo rápido (para fixar a ideia): com x=\pi/6 temos \sin x=\tfrac12 então \csc x=2. Então
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=\pi/6} = \csc^2(2)\cdot \csc(\tfrac{\pi}{6})\cdot\cot(\tfrac{\pi}{6}) = \csc^2(2)\cdot 2 \cdot \sqrt{3}.
Isso mostra o procedimento de cálculo numérico (note que \csc^2(2) envolve \sin 2 e não \sin(\tfrac{\pi}{6})).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\csc^2\bigl(\csc x\bigr)\,\csc x\,\cot x

Exercícios relacionados