Derive
f(x)=y=(\operatorname{arcsen} 2 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=y=\bigl(\operatorname{arcsen} 2x\bigr)^{2}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função está escrita como uma composição: uma potência quadrada aplicada à função \operatorname{arcsen}(2x).
  • O domínio natural onde \operatorname{arcsen}(2x) está definido é |2x|\leq 1, isto é, |x|\leq \frac{1}{2}. A derivada que vamos obter valerá nos pontos onde a expressão resultante for bem definida (ver detalhes depois).

Passo 2

Fazemos uma substituição para clarear a estrutura da composição. Seja
u=\operatorname{arcsen}(2x).
Com isso a função fica
y=u^{2}.
Esta substituição separa a parte “externa” (a potência u^{2}) da parte “interna” (a função u=\operatorname{arcsen}(2x)), o que facilita o uso da regra da cadeia. A ideia é primeiro derivar y em relação a u, depois u em relação a x, e por fim multiplicar.

Passo 3

Derivamos a parte externa usando a regra do poder (power rule). A regra diz que, para uma função u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui, tratando u como variável independente por enquanto, temos
\frac{dy}{du}=2u.
Explicação curta e concreta: a derivada de u^{2} em relação a u é 2u. Exemplo simples: se y=t^{2}, então dy/dt=2t.

Passo 4

Agora derivamos a parte interna u=\operatorname{arcsen}(2x) em relação a x. Primeiro lembrar a fórmula básica:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(w)\bigr)=\frac{w'}{\sqrt{1-w^{2}}},
onde w=w(x) e w' é sua derivada. Justificativa curta (implicita, mas importante): se u=\operatorname{arcsen}(w) então \sin u = w; derivando ambos os lados obtemos \cos u\cdot u' = w'. Como \cos u=\sqrt{1-\sin^{2}u}=\sqrt{1-w^{2}} (o sinal positivo porque \operatorname{arcsen} toma valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] onde \cos u\ge 0), segue u'=\dfrac{w'}{\sqrt{1-w^{2}}}.
Aplicando isso com w(x)=2x (logo w'(x)=2), obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia completa. A regra da cadeia diz que, para y(u(x)),
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo as derivadas parciais que já calculamos temos
\frac{dy}{dx}=(2u)\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}=\frac{4u}{\sqrt{1-4x^{2}}},
onde, relembrando, u=\operatorname{arcsen}(2x).

Passo 6

Voltamos à notação original em x substituindo u por \operatorname{arcsen}(2x). Assim a derivada final é obtida substituindo u na expressão do passo anterior. Observação sobre domínio: o denominador \sqrt{1-4x^{2}} exige 1-4x^{2}>0 para a derivada finita; portanto a fórmula vale para |x|<\frac{1}{2}. Nos pontos x=\pm\frac{1}{2} a derivada não existe finitamente porque o denominador zera.

Resposta

f'(x)=\frac{4\,\operatorname{arcsen}(2x)}{\sqrt{1-4x^{2}}},\quad |x|<\frac{1}{2}

Exercícios relacionados