Derive
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função está escrita como uma composição: uma potência quadrada aplicada à função
. - O domínio natural onde
está definido é , isto é, . A derivada que vamos obter valerá nos pontos onde a expressão resultante for bem definida (ver detalhes depois).
Passo 2
Fazemos uma substituição para clarear a estrutura da composição. Seja
Com isso a função fica
Esta substituição separa a parte “externa” (a potência
) da parte “interna” (a função
), o que facilita o uso da regra da cadeia. A ideia é primeiro derivar
em relação a
, depois
em relação a
, e por fim multiplicar.
Passo 3
Derivamos a parte externa usando a regra do poder (power rule). A regra diz que, para uma função
,
Aqui, tratando
como variável independente por enquanto, temos
Explicação curta e concreta: a derivada de
em relação a
é
. Exemplo simples: se
, então
.
Passo 4
Agora derivamos a parte interna
em relação a
. Primeiro lembrar a fórmula básica:
onde
e
é sua derivada. Justificativa curta (implicita, mas importante): se
então
; derivando ambos os lados obtemos
. Como
(o sinal positivo porque
toma valores em
onde
), segue
.
Aplicando isso com
(logo
), obtemos
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia completa. A regra da cadeia diz que, para
,
Substituindo as derivadas parciais que já calculamos temos
onde, relembrando,
.
Passo 6
Voltamos à notação original em
substituindo
por
. Assim a derivada final é obtida substituindo
na expressão do passo anterior. Observação sobre domínio: o denominador
exige
para a derivada finita; portanto a fórmula vale para
. Nos pontos
a derivada não existe finitamente porque o denominador zera.