Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é
, uma exponencial com um coeficiente linear
multiplicando
. Não há outras condições (por exemplo, limites), então queremos uma primitiva geral, que será determinada até uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma exponencial do tipo
com
constante, existe uma fórmula direta:
desde que
. Vou mostrar por que isso vale usando substituição, passo a passo, para você saber aplicar na prova.
Passo 3
Explicando a substituição: definimos uma nova variável para simplificar a expressão do expoente. Seja
Então, diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Essa substituição troca a integral em
por uma integral em
, que fica mais simples.
Passo 4
Aplicando a substituição na integral:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Integrando
em relação a
: sabemos que a primitiva de
é
(porque a derivada de
é
). Logo,
Passo 6
Voltando à variável original
substituindo
:
Portanto a primitiva (a integral) é
Passo 7
Agora vamos conferir derivando a resposta — isso garante que nossa primitiva está correta. Tome
Queremos verificar que
. Usamos a regra da cadeia para derivar
: se
, então
. Aqui
tem derivada
. Assim,
A constante
some na derivada, como esperado. O resultado confere exatamente com o integrando.
Passo 8
Resumo prático para a prova: sempre que vir
com
constante, lembre-se rápido:
. Se quiser justificar, faça a substituição
como fizemos. Você já praticou a verificação derivando, que é uma ótima maneira de checar no caderno.