Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int e^{5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{5 x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é e^{5 x}, uma exponencial com um coeficiente linear 5 multiplicando x. Não há outras condições (por exemplo, limites), então queremos uma primitiva geral, que será determinada até uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma exponencial do tipo e^{a x} com a constante, existe uma fórmula direta:
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{a x} + C,
desde que a\neq 0. Vou mostrar por que isso vale usando substituição, passo a passo, para você saber aplicar na prova.

Passo 3

Explicando a substituição: definimos uma nova variável para simplificar a expressão do expoente. Seja
u = 5x.
Então, diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = 5\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{1}{5}\,du.
Essa substituição troca a integral em x por uma integral em u, que fica mais simples.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral:
\int e^{5 x}\,dx = \int e^{u}\left(\frac{1}{5}\,du\right).
Posso tirar a constante \frac{1}{5} para fora da integral:
\int e^{5 x}\,dx = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Integrando e^{u} em relação a u: sabemos que a primitiva de e^{u} é e^{u} (porque a derivada de e^{u} é e^{u}). Logo,
\frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}e^{u} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x substituindo u=5x:
\frac{1}{5}e^{u} + C = \frac{1}{5}e^{5 x} + C.
Portanto a primitiva (a integral) é
\int e^{5 x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5 x} + C.

Passo 7

Agora vamos conferir derivando a resposta — isso garante que nossa primitiva está correta. Tome
F(x)=\frac{1}{5}e^{5 x}+C.
Queremos verificar que F'(x)=e^{5 x}. Usamos a regra da cadeia para derivar e^{5 x}: se g(x)=e^{h(x)}, então g'(x)=h'(x)e^{h(x)}. Aqui h(x)=5x tem derivada h'(x)=5. Assim,
F'(x)=\frac{1}{5}\cdot\bigl(5 e^{5 x}\bigr)+0 = e^{5 x}.
A constante C some na derivada, como esperado. O resultado confere exatamente com o integrando.

Passo 8

Resumo prático para a prova: sempre que vir \int e^{a x}\,dx com a constante, lembre-se rápido: \frac{1}{a}e^{a x}+C. Se quiser justificar, faça a substituição u=ax como fizemos. Você já praticou a verificação derivando, que é uma ótima maneira de checar no caderno.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5 x}+C

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