Derive
f(x)=y=x \cos ^{-1} x

Passo 1

O problema pede para derivar a função f(x)=y=x\cos^{-1}x.
Informações dadas:
  • A função é y=x\cos^{-1}x.
  • A notação \cos^{-1}x significa a função arco-cosseno (também escrita \operatorname{arccos} x), cujo valor principal está em [0,\pi].
  • Precisamos encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada em função de x), indicando também o domínio onde a derivada está definida.

Passo 2

Escolhemos usar a regra do produto, porque y é produto de duas funções de x: uma é x e a outra é \cos^{-1}x. Vamos chamar
u(x)=x\quad\text{e}\quad v(x)=\cos^{-1}x.
A regra do produto diz que a derivada de u\cdot v é u'v+uv'. Primeiro vamos recordar e explicar essa regra.

Passo 3

A regra do produto (explicação didática):
  • Se temos duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), a derivada de u(x)v(x) é
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Intuição rápida: a variação total do produto vem da variação de u mantendo v praticamente igual, mais a variação de v mantendo u praticamente igual. É a forma padronizada de combinar as duas variações.
Aplicando aqui, teremos
\frac{dy}{dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Agora precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivada de u(x)=x:
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Derivada de v(x)=\cos^{-1}x (aqui vou ensinar passo a passo como obter):
  • Defina y=\cos^{-1}x. Isso é equivalente a escrever \cos y = x, com y\in[0,\pi].
  • Diferencie implicitamente em relação a x. Derivando \cos y em relação a x usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos y\bigr) = -\sin y\cdot\frac{dy}{dx}.
Mas o lado direito \frac{d}{dx}x é 1. Então obtemos
-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \frac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
  • Agora substituímos \sin y em termos de x. Como \cos y = x, temos \sin^2 y = 1-\cos^2 y = 1-x^2. Como y\in[0,\pi], \sin y\ge 0, portanto \sin y=\sqrt{1-x^2}. Assim
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
  • Conclusão: a derivada da arco-cosseno é
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{-1}x\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
válida para -1<x<1. (Nos pontos x=\pm1 o denominador vira zero e a derivada não é finita.)

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os valores calculados:
\frac{dy}{dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=1, v(x)=\cos^{-1}x e v'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, obtemos
\frac{dy}{dx}=1\cdot\cos^{-1}x + x\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right).
Simplificando,
\frac{dy}{dx}=\cos^{-1}x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 6

Comentários finais e verificação rápida:
  • Domínio da derivada: a expressão \cos^{-1}x-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} é válida para -1<x<1 (porque \sqrt{1-x^2} exige 1-x^2>0 para ser finito). Em x=\pm1 a derivada não é finita.
  • Verificação numérica simples: para x=0 temos \cos^{-1}0=\dfrac{\pi}{2} e \sqrt{1-0^2}=1, então
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2},
o que faz sentido e serve como checagem rápida.
  • Dica para prova: escreva sempre u e v, calcule u' e v' com calma (no caso do arco-cosseno usar implicitamente \cos y=x), depois aplique u'v+uv'. Respire fundo se travar — é só produto + derivada conhecida da \operatorname{arccos}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\cos^{-1}x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1

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