Derive
Passo 1
O problema pede para derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A notação
significa a função arco-cosseno (também escrita ), cujo valor principal está em . - Precisamos encontrar
(a derivada em função de ), indicando também o domínio onde a derivada está definida.
Passo 2
Escolhemos usar a regra do produto, porque
é produto de duas funções de
: uma é
e a outra é
. Vamos chamar
A regra do produto diz que a derivada de
é
. Primeiro vamos recordar e explicar essa regra.
Passo 3
A regra do produto (explicação didática):
- Se temos duas funções diferenciáveis
e , a derivada de é
- Intuição rápida: a variação total do produto vem da variação de
mantendo praticamente igual, mais a variação de mantendo praticamente igual. É a forma padronizada de combinar as duas variações.
Aplicando aqui, teremos
Agora precisamos calcular
e
.
Passo 4
Derivada de
:
Derivada de
(aqui vou ensinar passo a passo como obter):
- Defina
. Isso é equivalente a escrever , com . - Diferencie implicitamente em relação a
. Derivando em relação a usando a regra da cadeia:
Mas o lado direito
é
. Então obtemos
Isolando
,
- Agora substituímos
em termos de . Como , temos . Como , , portanto . Assim
- Conclusão: a derivada da arco-cosseno é
válida para
. (Nos pontos
o denominador vira zero e a derivada não é finita.)
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os valores calculados:
Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando,
Passo 6
Comentários finais e verificação rápida:
- Domínio da derivada: a expressão
é válida para (porque exige para ser finito). Em a derivada não é finita. - Verificação numérica simples: para
temos e , então
o que faz sentido e serve como checagem rápida.
- Dica para prova: escreva sempre
e , calcule e com calma (no caso do arco-cosseno usar implicitamente ), depois aplique . Respire fundo se travar — é só produto + derivada conhecida da .