Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e, em seguida, conferir a resposta derivando a antiderivada encontrada. As informações dadas são apenas a expressão integranda
e que a integração é em relação a
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos uma expressão do tipo
e esse “algo” é uma função linear em
(aqui
), é natural usar uma substituição que transforme essa expressão em uma potência simples de uma nova variável. Essa substituição é a “inversão” da regra da cadeia da derivação. Vamos definir uma nova variável
igual ao interior da potência:
Agora calculamos a diferencial correspondente: derivando ambos os lados em relação a
, obtemos
, ou seja
Explicação do que fizemos:
representa a variação de
quando
varia; trocando
por
trocamos a integração em
por uma integração em
.
Passo 3
Substituímos na integral original usando
e
. Assim
Aqui transformamos o problema numa integral de uma potência simples de
, que é mais fácil de integrar.
Passo 4
Regra de potência para integração (explicação didática): para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. Nesta fórmula,
é a variável de integração e
é o expoente. Aplicando com
no nosso caso:
Expliquei cada passo: multipliquei a constante
pela antiderivada
.
Passo 5
Voltando à variável original
(substituição inversa): lembrando que
, obtemos a antiderivada em
:
Podemos também simplificar a expressão fatorando
de
:
, então
Portanto uma forma alternativa e mais “simples” é
. Ambas as formas representam a mesma família de antiderivadas.
Passo 6
Conferindo derivando (check): vamos derivar
para verificar se obtemos a integranda
.
Usamos a regra da cadeia para derivação: se
, então
Como
, temos
que é exatamente a integranda. Conferido! Se quisermos conferir a forma simplificada
, derivamos:
Como
, a verificação também confirma que essa forma derivada retorna a mesma integranda.