Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int(2 x+6)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(2x+6)^{5}\,dx
e, em seguida, conferir a resposta derivando a antiderivada encontrada. As informações dadas são apenas a expressão integranda (2x+6)^{5} e que a integração é em relação a x. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma expressão do tipo (\text{algo})^{n} e esse “algo” é uma função linear em x (aqui 2x+6), é natural usar uma substituição que transforme essa expressão em uma potência simples de uma nova variável. Essa substituição é a “inversão” da regra da cadeia da derivação. Vamos definir uma nova variável u igual ao interior da potência:
u = 2x+6.
Agora calculamos a diferencial correspondente: derivando ambos os lados em relação a x, obtemos du/dx = 2, ou seja
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Explicação do que fizemos: du representa a variação de u quando x varia; trocando dx por du/2 trocamos a integração em x por uma integração em u.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int(2x+6)^{5}\,dx = \int u^{5}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{5}\,du.
Aqui transformamos o problema numa integral de uma potência simples de u, que é mais fácil de integrar.

Passo 4

Regra de potência para integração (explicação didática): para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Nesta fórmula, u é a variável de integração e n é o expoente. Aplicando com n=5 no nosso caso:
\frac{1}{2}\int u^{5}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{12} + C.
Expliquei cada passo: multipliquei a constante \tfrac{1}{2} pela antiderivada \tfrac{u^{6}}{6}.

Passo 5

Voltando à variável original x (substituição inversa): lembrando que u=2x+6, obtemos a antiderivada em x:
\frac{u^{6}}{12}+C = \frac{(2x+6)^{6}}{12}+C.
Podemos também simplificar a expressão fatorando 2 de 2x+6: 2x+6=2(x+3), então
\frac{(2x+6)^{6}}{12} = \frac{\big(2(x+3)\big)^{6}}{12} = \frac{2^{6}(x+3)^{6}}{12} = \frac{64}{12}(x+3)^{6} = \frac{16}{3}(x+3)^{6}.
Portanto uma forma alternativa e mais “simples” é \dfrac{16}{3}(x+3)^{6}+C. Ambas as formas representam a mesma família de antiderivadas.

Passo 6

Conferindo derivando (check): vamos derivar \dfrac{(2x+6)^{6}}{12} para verificar se obtemos a integranda (2x+6)^{5}.
Usamos a regra da cadeia para derivação: se F(x)=\dfrac{(2x+6)^{6}}{12}, então
F'(x)=\frac{1}{12}\cdot 6(2x+6)^{5}\cdot\frac{d}{dx}(2x+6).
Como \dfrac{d}{dx}(2x+6)=2, temos
F'(x)=\frac{6}{12}\cdot 2\,(2x+6)^{5} = \frac{12}{12}(2x+6)^{5} = (2x+6)^{5},
que é exatamente a integranda. Conferido! Se quisermos conferir a forma simplificada \dfrac{16}{3}(x+3)^{6}, derivamos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{16}{3}(x+3)^{6}\right)=\frac{16}{3}\cdot 6(x+3)^{5} = 32(x+3)^{5}.
Como (2x+6)^{5} = \big(2(x+3)\big)^{5} = 2^{5}(x+3)^{5} = 32(x+3)^{5}, a verificação também confirma que essa forma derivada retorna a mesma integranda.

Resposta

\frac{(2x+6)^{6}}{12}+C
\frac{16}{3}(x+3)^{6}+C

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