Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
y=\frac{1}{x^{2}} no x=3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=\frac{1}{x^{2}} no ponto x=3 usando a definição de derivada.
Informações dadas: a função é y=\frac{1}{x^{2}} e o ponto onde queremos a derivada é x=3.
Observação importante: a função só está definida para x\neq 0, então faz sentido calcular a derivada apenas para x\neq 0.

Passo 2

Definição de derivada (primeira-princípio): se f é uma função e a é um ponto do domínio, então a derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista.
Aqui h é um pequeno incremento em x; a expressão \frac{f(a+h)-f(a)}{h} é o coeficiente angular da secante entre x=a e x=a+h. Ao fazer h\to 0 obtemos a inclinação da tangente.

Passo 3

Vamos aplicar a definição com f(x)=\frac{1}{x^{2}}. Primeiro calculamos o quociente incremental geral em torno de um x qualquer:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}.
Colocando em um denominador comum:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^2-(x+h)^2}{h\;x^2 (x+h)^2}.
Expandindo (x+h)^2:
(x+h)^2=x^2+2xh+h^2,
então o numerador fica
x^2-(x+h)^2 = x^2-(x^2+2xh+h^2) = -2xh-h^2 = -h(2x+h).

Passo 4

Substituindo o numerador fatorado no quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-h(2x+h)}{h\;x^2 (x+h)^2}.
Como estamos tomando h\to 0 e o quociente considera h\neq 0 inicialmente, podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-(2x+h)}{x^2 (x+h)^2}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-(2x+h)}{x^2 (x+h)^2}=\frac{-2x}{x^2\cdot x^2}=\frac{-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3},
válido para x\neq 0. Isto nos dá a fórmula da derivada da função em qualquer ponto do domínio.

Passo 6

Queremos a derivada em x=3. Aplicando a fórmula f'(x)=\frac{-2}{x^3} em x=3:
f'(3)=\frac{-2}{3^3}=\frac{-2}{27}.

Resposta

-\dfrac{2}{27}

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