Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
no
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada.
Informações dadas: a função é e o ponto onde queremos a derivada é
.
Observação importante: a função só está definida para , então faz sentido calcular a derivada apenas para
.
Informações dadas: a função é
Observação importante: a função só está definida para
Passo 2
Definição de derivada (primeira-princípio): se
é uma função e
é um ponto do domínio, então a derivada de
em
é
desde que esse limite exista.
Aqui é um pequeno incremento em
; a expressão
é o coeficiente angular da secante entre
e
. Ao fazer
obtemos a inclinação da tangente.
Aqui
Passo 3
Vamos aplicar a definição com
. Primeiro calculamos o quociente incremental geral em torno de um
qualquer:
Colocando em um denominador comum:
Expandindo
:
então o numerador fica
Passo 4
Substituindo o numerador fatorado no quociente incremental:
Como estamos tomando
e o quociente considera
inicialmente, podemos cancelar
:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
válido para
. Isto nos dá a fórmula da derivada da função em qualquer ponto do domínio.
Passo 6
Queremos a derivada em
. Aplicando a fórmula
em
: