Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
y=-x^{2} no x=1

Passo 1

O enunciado dá a função y=-x^{2} e pede para determinar a derivada dessa função no ponto x=1.
Informações relevantes:
  • A função é y=f(x)=-x^{2}.
  • Queremos o valor de f'(1), isto é, a derivada de f avaliada em x=1.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada no ponto. A definição (forma com h) é:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada parte:
  • f é a função que estamos estudando.
  • a é o ponto onde queremos a derivada (aqui a=1).
  • h é um pequeno incremento em x; \lim_{h\to0} significa que fazemos h tender a zero, aproximando-se de a.
    O quociente \frac{f(a+h)-f(a)}{h} mede a taxa média de variação de f entre a e a+h; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea (a derivada), que geometricamente é a inclinação da reta tangente em x=a.

Passo 3

Identificamos na nossa função f(x)=-x^{2} que a=1. Primeiro calculemos f(1):
f(1)=-(1)^{2}=-1.

Passo 4

Calculemos f(1+h). Substituímos x=1+h em f(x)=-x^{2}:
f(1+h)=-(1+h)^{2}.
Agora expandimos o quadrado (1+h)^{2}:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
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f(1+h)=-(1+2h+h^{2})=-1-2h-h^{2}.

Passo 5

Formamos o quociente incremental da definição:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(-1-2h-h^{2})-(-1)}{h}.
Simplificando o numerador:
(-1-2h-h^{2})-(-1)=-1-2h-h^{2}+1=-2h-h^{2}.
Portanto
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2h-h^{2}}{h}.
Agora fatoramos h no numerador e cancelamos com o denominador:
\frac{-2h-h^{2}}{h}=\frac{h(-2-h)}{h}=-2-h,
válido para h\neq0.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(-2-h)=-2.
Isso significa que a derivada de y=-x^{2} em x=1 vale -2. Geometricamente, a reta tangente ao gráfico em x=1 tem inclinação -2.

Passo 7

Comentário extra (útil para a prova): para funções polinomiais do tipo f(x)=x^{2} já se obtém pela mesma rotina que f'(x)=2x; no nosso caso f(x)=-x^{2} tem derivada f'(x)=-2x, e avaliando em x=1 obtemos f'(1)=-2. Use a definição quando pedirem explicitamente “usando a definição” (como aqui), e saiba que o resultado coincide com a regra rápida para potências.

Resposta

f'(1)=-2

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