Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
no
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada dessa função no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - Queremos o valor de
, isto é, a derivada de avaliada em .
Passo 2
Vou usar a definição de derivada no ponto. A definição (forma com
) é:
Explicando cada parte:
-
é a função que estamos estudando. -
é o ponto onde queremos a derivada (aqui ). -
é um pequeno incremento em ; significa que fazemos tender a zero, aproximando-se de .
O quocientemede a taxa média de variação de entre e ; o limite quando dá a taxa instantânea (a derivada), que geometricamente é a inclinação da reta tangente em .
Passo 3
Identificamos na nossa função
que
. Primeiro calculemos
:
Passo 4
Calculemos
. Substituímos
em
:
Agora expandimos o quadrado
:
logo
Passo 5
Formamos o quociente incremental da definição:
Simplificando o numerador:
Portanto
Agora fatoramos
no numerador e cancelamos com o denominador:
válido para
.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Isso significa que a derivada de
em
vale
. Geometricamente, a reta tangente ao gráfico em
tem inclinação
.
Passo 7
Comentário extra (útil para a prova): para funções polinomiais do tipo
já se obtém pela mesma rotina que
; no nosso caso
tem derivada
, e avaliando em
obtemos
. Use a definição quando pedirem explicitamente “usando a definição” (como aqui), e saiba que o resultado coincide com a regra rápida para potências.