Faça uma troca apropriada de variáveis para calcular a integral indicada.
\int \frac{x}{(x-5)^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{(x-5)^{6}}\,dx.
Informações dadas:
  • A expressão a integrar é \dfrac{x}{(x-5)^{6}}.
  • A variável de integração é x.
  • Trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração \,C).
  • Note que a função tem singularidade em x=5 (denominador nulo), então o resultado vale em intervalos onde x\neq 5.

Passo 2

Vamos simplificar a integral fazendo uma troca de variável adequada. A ideia é escolher uma nova variável que torne o denominador simples. Definimos
u = x-5.
Explicação didática: trocar por u=x-5 desloca a variável de modo que o denominador (x-5)^6 vire simplesmente u^6, o que facilita a integração usando potências.

Passo 3

Com u = x-5 temos
du = dx
e também
x = u+5.
Substituindo na integral original:
\int \frac{x}{(x-5)^{6}}\,dx = \int \frac{u+5}{u^{6}}\,du.

Passo 4

Agora simplificamos a fração e escrevemos em potências:
\frac{u+5}{u^{6}} = \frac{u}{u^{6}} + \frac{5}{u^{6}} = u^{-5} + 5u^{-6}.
Portanto a integral fica
\int \left(u^{-5} + 5u^{-6}\right)\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Usando isso em cada termo:
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4}u^{-4},
\int 5u^{-6}\,du = 5\cdot\frac{u^{-5}}{-5} = -u^{-5}.
Somando os resultados,
\int \left(u^{-5} + 5u^{-6}\right)\,du = -\frac{1}{4}u^{-4} - u^{-5} + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x usando u=x-5:
-\frac{1}{4}u^{-4} - u^{-5} + C = -\frac{1}{4(x-5)^{4}} - \frac{1}{(x-5)^{5}} + C.

Passo 7

Podemos condensar em uma única fração para simplificar a aparência. Colocando em denominador comum 4(x-5)^{5}:
-\frac{1}{4(x-5)^{4}} - \frac{1}{(x-5)^{5}} = \frac{-(x-5)-4}{4(x-5)^{5}} = \frac{1-x}{4(x-5)^{5}}.
Assim uma forma simplificada da primitiva é
\frac{1-x}{4(x-5)^{5}} + C.

Resposta

\dfrac{1-x}{4(x-5)^{5}} + C

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