Faça uma troca apropriada de variáveis para calcular a integral indicada.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A expressão a integrar é
. - A variável de integração é
. - Trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração
). - Note que a função tem singularidade em
(denominador nulo), então o resultado vale em intervalos onde .
Passo 2
Vamos simplificar a integral fazendo uma troca de variável adequada. A ideia é escolher uma nova variável que torne o denominador simples. Definimos
Explicação didática: trocar por
desloca a variável de modo que o denominador
vire simplesmente
, o que facilita a integração usando potências.
Passo 3
Com
temos
e também
Substituindo na integral original:
Passo 4
Agora simplificamos a fração e escrevemos em potências:
Portanto a integral fica
Passo 5
Aplicamos a regra da potência para integrais: para
,
Usando isso em cada termo:
Somando os resultados,
Passo 6
Voltamos à variável original
usando
:
Passo 7
Podemos condensar em uma única fração para simplificar a aparência. Colocando em denominador comum
:
Assim uma forma simplificada da primitiva é