Calcule a integral indicada.
\int_{0}^{1} \frac{x-\sqrt{x}}{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x - \sqrt{x}}{3}\,dx.
O conteúdo envolvido é integral de funções polinomiais (ou potência), usando as propriedades de linearidade da integral e a regra do poder.

Passo 2

Usamos a propriedade de fator constante e linearidade:
\int_{0}^{1}\frac{x - \sqrt{x}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{1/2}\bigr)\,dx = \frac{1}{3}\Bigl(\int_{0}^{1}x\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx\Bigr).

Passo 3

Calculamos cada integral pelo teorema da potência:
\int_{0}^{1}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-0 =\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx =\left[\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0\bigr) =\frac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo esses resultados em \frac{1}{3}\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}\bigr):
\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{3-4}{6}\Bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(-\frac{1}{6}\Bigr) =-\frac{1}{18}.

Resposta

-\frac{1}{18}

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