Calcule a integral indicada.
\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{2}{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{2}{x}} \,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de integração usando a regra da potência. Vamos reescrever a integranda numa forma que facilite a aplicação dessa regra.

Passo 2

Reescrevendo a raiz e o coeficiente, temos
\sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{2}\,\sqrt{x^{-1}} = \sqrt{2}\,x^{-\tfrac12}.
Logo, a integral fica
\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{2}{x}} \,dx = \sqrt{2}\,\int_{1}^{2} x^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência para integrais, isto é,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
para n = -\tfrac12 obtemos
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.
Portanto,
\sqrt{2}\,\int_{1}^{2} x^{-\tfrac12}\,dx = \sqrt{2}\,\Bigl[2\,x^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{2} = 2\sqrt{2}\,\bigl[x^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos o termo entre colchetes nos limites x=1 e x=2:
\bigl[x^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{2} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1.
Multiplicando pelo fator externo,
2\sqrt{2}\,(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}\,\sqrt{2} \;-\; 2\sqrt{2} = 2\cdot2 \;-\; 2\sqrt{2} = 4 - 2\sqrt{2}.

Resposta

\int_{1}^{2} \sqrt{\frac{2}{x}} \,dx = 4 - 2\sqrt{2}.

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