Calcule a integral indicada.
\int_{2}^{3} \frac{x}{\sqrt{x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx.
O conteúdo envolvido é mudança de variável (substituição) e aplicação da regra de potência para integrar funções do tipo u^{p}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1,
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x = u + 1, \quad dx = du.
Quando x=2, temos u=1; quando x=3, temos u=2. A integral vira
\int_{u=1}^{u=2}\frac{u+1}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 3

Escrevemos \frac{u+1}{\sqrt{u}} = u^{1/2} + u^{-1/2}. Assim
\int_{1}^{2}\bigl(u^{1/2}+u^{-1/2}\bigr)\,du = \int_{1}^{2}u^{1/2}\,du + \int_{1}^{2}u^{-1/2}\,du.
Pela regra de potência,
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}u^{3/2}, \quad \int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} = 2u^{1/2}.
Logo o antiderivado é
F(u) = \tfrac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2}.

Passo 4

Avaliaremos de u=1 a u=2:
F(2) = \tfrac{2}{3}\cdot2^{3/2} + 2\cdot2^{1/2} = \tfrac{2}{3}\cdot2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \tfrac{4\sqrt{2}}{3} + \tfrac{6\sqrt{2}}{3} = \tfrac{10\sqrt{2}}{3},
F(1) = \tfrac{2}{3}\cdot1^{3/2} + 2\cdot1^{1/2} = \tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{8}{3}.
Portanto a integral vale
F(2) - F(1) = \frac{10\sqrt{2}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10\sqrt{2} - 8}{3}.

Resposta

\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx = \frac{10\sqrt{2} - 8}{3}.

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