Calcule a integral indicada.
\int_{0}{4}\left|x{2}-4 x+3\right| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-4x+3\bigr|\,dx.
O conteúdo aqui é integral de valor absoluto de uma função polinomial. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar onde x^{2}-4x+3 muda de sinal.
  2. Dividir o intervalo de integração nesses pontos.
  3. Integrar sem o valor absoluto em cada subintervalo e somar os resultados.

Passo 2

Determinar as raízes de
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando,
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)=0,
logo as raízes são x=1 e x=3.

Passo 3

Analisar o sinal de x^{2}-4x+3 em cada subintervalo de [0,4]:
  • Para 0\le x<1, por exemplo em x=0, temos 0^2-4\cdot0+3=3>0.
  • Para 1<x<3, por exemplo em x=2, temos 2^2-4\cdot2+3=-1<0.
  • Para 3<x\le4, por exemplo em x=4, temos 4^2-4\cdot4+3=3>0.
    Portanto
|x^{2}-4x+3| = \begin{cases} x^{2}-4x+3, &0\le x\le1,\\\\ -(x^{2}-4x+3), &1\le x\le3,\\\ x^{2}-4x+3, &3\le x\le4. \end{cases}

Passo 4

Encontrar uma antiderivada de x^{2}-4x+3. Basta calcular
F(x)=\int(x^{2}-4x+3)\,dx =\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x.

Passo 5

Escrever a integral como soma de três integrais
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-4x+3\bigr|\,dx =\int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx +\int_{1}^{3}-(x^{2}-4x+3)\,dx +\int_{3}^{4}(x^{2}-4x+3)\,dx.
Agora calcular cada parte:
\int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac{1}{3}-2+3\Bigr)-0 =\tfrac{4}{3},
\int_{1}^{3}-(x^{2}-4x+3)\,dx =-\bigl[F(3)-F(1)\bigr] =-\bigl(0-\tfrac{4}{3}\bigr) =\tfrac{4}{3},
\int_{3}^{4}(x^{2}-4x+3)\,dx =F(4)-F(3) =\Bigl(\tfrac{64}{3}-32+12\Bigr)-0 =\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Somando os três resultados obtidos:
\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} =\tfrac{12}{3} =4.

Resposta

4

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