derive a função dada.
f(x)=\int_{-\operatorname{sen}^{2} x}^{x^{4}} \cos t^{3} d t

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\int_{-\sin^{2}x}^{\,x^{4}}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt.
O conteúdo é a diferenciação de uma integral com limites que dependem de x, usando a regra de Leibniz (Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis).

Passo 2

A regra geral diz que, se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Aqui temos
g(t)=\cos\bigl(t^{3}\bigr),\quad b(x)=x^{4},\quad a(x)=-\sin^{2}x.

Passo 4

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},
a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\sin^{2}x\bigr)=-2\sin x\cos x=-\sin(2x).

Passo 5

Aplicando a fórmula de Leibniz:
f'(x) =\cos\bigl((x^{4})^{3}\bigr)\cdot4x^{3} \;-\; \cos\bigl((-\sin^{2}x)^{3}\bigr)\cdot\bigl(-\sin(2x)\bigr).
Como (x^{4})^{3}=x^{12}, (-\sin^{2}x)^{3}=-\sin^{6}x e \cos(-u)=\cos u, obtemos
f'(x) =4x^{3}\cos\bigl(x^{12}\bigr) \;+\;\sin(2x)\,\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\cos\bigl(x^{12}\bigr)+\sin(2x)\,\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr).

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