derive a função dada.
f(x)=x^{2} \int_{1}^{2 \sqrt{x}} \sqrt{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = x^{2} \int_{1}^{2\sqrt{x}} \sqrt{t^{2}+1}\,dt
e pede f'(x). Vamos usar duas ferramentas principais: o produto de funções (regra do produto) e o Teorema Fundamental do Cálculo estendido (para derivar a integral com limite superior dependente de x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a
f(x) = u(x)\,v(x)
com u(x)=x^{2} e
v(x)=\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Logo,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{2}\,v'(x).

Passo 3

Para v'(x)=\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt usamos o Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia. Se h(x)=2\sqrt{x}, então
v'(x)=\sqrt{\bigl(h(x)\bigr)^{2}+1}\;\cdot\;h'(x).

Passo 4

Calculamos
h(x)=2x^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad h'(x)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
E
\bigl(h(x)\bigr)^{2}+1=(2\sqrt{x})^{2}+1=4x+1.
Portanto,
v'(x)=\sqrt{4x+1}\,\frac{1}{\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{2}\,\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}} =2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{3/2}\,\sqrt{4x+1}.

Resposta

f'(x)=2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{3/2}\,\sqrt{4x+1}.

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