Encontre a derivada de y=e^tg(ln (sen(x)))

Passo 1

Beleza! O enunciado pede a derivada de
y = e^tan(ln(sin(x)))
Aqui vamos precisar usar a regra da cadeia em várias camadas, pois há composição de exponencial, tangente, logaritmo natural e seno.

Passo 2

Para organizar, definimos:
u = tanl(ln(sin(x))r), y = e^u
Pela regra da cadeia,
dydx = dydu,dudx
Vamos calcular cada pedaço.

Passo 3

Como y = e^u, temos
dydu = e^u

Passo 4

Agora, para u = tan(v) com
v = ln(sin(x)),
a regra da cadeia dá
dudx = dudv,dvdx
E como
dudv = sec^2(v),
resta calcular dvdx.

Passo 5

Para v = ln(sin(x)),
dvdx = 1sin(x)cdotcos(x) = cot(x)
Logo
dudx = sec^2l(ln(sin(x))r),cot(x)

Passo 6

Juntando tudo na fórmula da regra da cadeia:
dydx = underbracee^udydu ;times; underbracesec^2l(ln(sin(x))r),cot(x)dudx
E como u = tan(ln(sin(x))), chega-se à forma final.

Resposta

dydx = e^tan(ln(sin(x)));sec^2l(ln(sin(x))r);cot(x)

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