Exercício 1: Classifique os sistemas abaixo (possível/impossível, determinado/indeterminado) e determine as soluções, quando cabível.
\begin{cases}2 x+y-z & =1 \\\\ 4 x+3 y+z & =13 \\\\ -2 x+2 y+3 z & =11\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x+y-z=1\\[4pt] 4x+3y+z=13\\[4pt] -2x+2y+3z=11 \end{cases}
O que se pede:
  • Classificar o sistema: se é possível ou impossível; e se é determinado ou indeterminado.
  • Determinar a(s) solução(ões), quando houver.
Informações relevantes fornecidas: as três equações acima (os coeficientes e os termos independentes estão todos explícitos).]

Passo 2

Plano de ação (passo a passo do que vamos fazer, explicando a ideia):
  • Uma maneira rápida de saber se um sistema linear quadrado tem solução única é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (é possível e determinado). Se o determinante for zero, pode ser impossível ou indeterminado e aí precisaríamos examinar consistência por eliminação.
  • Vou calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, em seguida, resolver o sistema explicitamente por eliminação (método das operações elementares nas linhas) para encontrar a solução e verificar tudo passo a passo.
Breve explicação do determinante 3×3 que vou usar:
Para a matriz
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j.]

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes do sistema:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 4 & 3 & 1\\[4pt] -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(A) aplicando a fórmula do passo anterior:
\det(A)=2\big(3\cdot3-1\cdot2\big)-1\big(4\cdot3-1\cdot(-2)\big)+(-1)\big(4\cdot2-3\cdot(-2)\big).
Agora calculando cada termo:
2\big(9-2\big)=2\cdot7=14,
-1\big(12+2\big)=-1\cdot14=-14,
(-1)\big(8+6\big)=(-1)\cdot14=-14.
Somando:
\det(A)=14-14-14=-14.]

Passo 4

Interpretação do resultado do determinante:
Como \det(A)=-14\neq0, a matriz dos coeficientes é invertível. Isso implica que o sistema tem exatamente uma solução (é possível e determinado). Ainda assim, vou encontrar essa solução explicitamente para ficar tudo confirmado.

Passo 5

Resolvendo por eliminação (monto a matriz aumentada e uso operações nas linhas). A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 1 & 13\\[4pt] -2 & 2 & 3 & 11 \end{array}\right).
Vou zerar os elementos abaixo do pivô 2 na primeira coluna.
Faço R_2 \leftarrow R_2-2R_1:
R_2: \; (4,\,3,\,1,\,13)-2(2,\,1,\,-1,\,1)=(0,\,1,\,3,\,11).
Faço R_3 \leftarrow R_3+R_1:
R_3: \; (-2,\,2,\,3,\,11)+(2,\,1,\,-1,\,1)=(0,\,3,\,2,\,12).
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 12 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora uso o pivô 1 da segunda linha para zerar o elemento abaixo (na terceira linha). Faço R_3 \leftarrow R_3-3R_2:
R_3: \; (0,\,3,\,2,\,12)-3(0,\,1,\,3,\,11)=(0,\,0,\,-7,\,-21).
A matriz triangular resultante é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -21 \end{array}\right).
Da terceira linha obtém-se a equação
-7z=-21.]

Passo 7

Resolvendo para z:
z=\dfrac{-21}{-7}=3.
Agora retro-substituo na segunda linha:
y+3z=11 \quad\Rightarrow\quad y+3\cdot3=11 \quad\Rightarrow\quad y+9=11 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Finalmente, uso a primeira equação para x:
2x+y-z=1 \quad\Rightarrow\quad 2x+2-3=1 \quad\Rightarrow\quad 2x-1=1 \quad\Rightarrow\quad 2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 8

Verificação rápida (substituindo na terceira equação original para conferir):
-2x+2y+3z=-2\cdot1+2\cdot2+3\cdot3=-2+4+9=11,
que é o termo independente dado. As outras duas equações também conferem (pode verificar rapidamente). Tudo consistente.

Resposta

Sistema possível e determinado.
Solução: (x,y,z)=(1,2,3)

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