Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI), mostrando que a equação diferencial pode ser transformada em uma equação separável através de uma substituição adequada u=y / x.
y^{\prime}=\frac{y}{x}+\tan \left(\frac{y}{x}\right), \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' = \frac{y}{x} + \tan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr), \quad y\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{\pi^2}{4},
mostrando que a equação é homogênea e pode ser transformada em separável pela substituição u=y/x. Vamos usar ideias de equações de primeira ordem homogêneas e separáveis.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \frac{y}{x},
temos y = u\,x. Diferenciando em relação a x:
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)
fica
u + x\frac{du}{dx} = u + \tan(u).
Cancelando u dos dois lados, obtemos
x\frac{du}{dx} = \tan(u).

Passo 3

A equação agora é separável. Escrevemos
\frac{du}{\tan(u)} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{\tan(u)} = \int \frac{dx}{x}.
Como \tfrac{1}{\tan(u)}=\cot(u) e \int \cot(u)\,du=\ln\bigl|\sin(u)\bigr|, temos
\ln\bigl|\sin(u)\bigr| = \ln|x| + C.
Elevando a exponencial, obtemos
\sin(u) = C\,x.
Logo
u = \arcsin(C\,x).
Voltando à variável original y = u\,x, resulta
y(x) = x\,\arcsin\bigl(C\,x\bigr).

Passo 4

Usamos a condição inicial y(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{\pi^2}{4}. Nesse ponto
u\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{y(\tfrac{\pi}{2})}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{\tfrac{\pi^2}{4}}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}.
Daí
\sin\Bigl(u(\tfrac{\pi}{2})\Bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1 = C \,\frac{\pi}{2},
logo C = \tfrac{2}{\pi}.

Resposta

\boxed{y(x) = x \,\arcsin\!\Bigl(\tfrac{2\,x}{\pi}\Bigr).}

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