Calcule a integral.
\int \cos ^{2} x \operatorname{sen} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}x \,\operatorname{sen} 2x \,dx
Estamos em conteúdo de técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = \cos^{2}x.
Derivando em relação a x:
\frac{du}{dx} = 2\cos x\cdot(-\operatorname{sen} x) = -2\operatorname{sen} x\cos x = -\operatorname{sen} 2x,
portanto
du = -\operatorname{sen} 2x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e du:
\int \cos^{2}x \,\operatorname{sen} 2x \,dx = \int u\;\operatorname{sen} 2x\,dx = \int u\;(-du) = -\int u\,du.

Passo 4

Agora é só integrar em u:
-\int u\,du = -\frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 5

Voltando para a variável x, lembre que u=\cos^{2}x:
-\frac{u^{2}}{2} + C = -\frac{\bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2}}{2} + C = -\frac{\cos^{4}x}{2} + C.

Resposta

-\frac{\cos^{4}x}{2} + C

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