Calcule a integral.
\int \frac{\cos x+\operatorname{sen} 2 x}{\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x + \operatorname{sen}2x}{\operatorname{sen}x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, em particular, usar identidades e integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
\operatorname{sen}2x = 2\,\operatorname{sen}x\cos x.
Substituindo na integral, fica
\int \frac{\cos x + 2\,\operatorname{sen}x\cos x}{\operatorname{sen}x}\,dx.

Passo 3

Separamos a fração em dois termos:
\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x} + \frac{2\,\operatorname{sen}x\cos x}{\operatorname{sen}x} = \cot x + 2\cos x.
Logo a integral original é
\int \cot x\,dx + \int 2\cos x\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int \cot x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sen}x\bigr| \quad\text{e}\quad \int 2\cos x\,dx = 2\,\operatorname{sen}x.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sen}x\bigr| + 2\,\operatorname{sen}x + C.

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