Calcule a integral.
\int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{3}x \,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sec} x,
de onde
\frac{du}{dx} = \operatorname{sec} x \tan x \quad\Longrightarrow\quad du = \operatorname{sec} x \tan x \,dx.

Passo 3

Reescrevemos o integrando em função de u:
\tan x \,\operatorname{sec}^{3}x \,dx = \operatorname{sec}^{2}x \,\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\,dx\bigr) = (\operatorname{sec} x)^{2}\,du = u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integremos em u:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Substituindo de volta u=\operatorname{sec} x, obtemos
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{(\operatorname{sec} x)^{3}}{3} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3} + C

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