Calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{2} \theta \operatorname{sec} ^{4} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{2}\theta \,\operatorname{sec}^{4}\theta \,d\theta.
Isso é uma integral trigonométrica em que vamos usar substituição e identidades de funções “sec” e “tan”.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \tan\theta,
pois sua derivada é
du = \operatorname{sec}^{2}\theta \,d\theta.

Passo 3

Para reescrever a integral, note que
\operatorname{sec}^{4}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta \quad\text{e}\quad \operatorname{sec}^{2}\theta = 1 + \tan^{2}\theta = 1 + u^{2}.
Assim,
\tan^{2}\theta \,\operatorname{sec}^{4}\theta \,d\theta = u^{2}\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr) = u^{2}\,(1+u^{2})\,du.

Passo 4

A integral em u fica
\int u^{2}(1+u^{2})\,du = \int \bigl(u^{2} + u^{4}\bigr)\,du = \frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 5

Volta à variável original \theta usando u=\tan\theta:
\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\tan^{3}\theta}{3} + \frac{\tan^{5}\theta}{5} + C.

Resposta

\frac{\tan^{3}\theta}{3} + \frac{\tan^{5}\theta}{5} + C

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