Calcule a integral.
\int \operatorname{cotg}^{5} \theta \operatorname{sen}^{4} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cot^5\theta \,\sin^4\theta \,d\theta.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas. Vamos reescrever tudo em termos de \sin\theta e \cos\theta e usar substituição.

Passo 2

Reescrevendo o integrando:
\cot^5\theta = \frac{\cos^5\theta}{\sin^5\theta}, \quad \sin^4\theta = \sin^4\theta,
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\cot^5\theta\,\sin^4\theta = \frac{\cos^5\theta}{\sin^5\theta}\,\sin^4\theta = \frac{\cos^5\theta}{\sin\theta}.
A integral fica
\int \frac{\cos^5\theta}{\sin\theta}\,d\theta.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin\theta \quad\Longrightarrow\quad du = \cos\theta\,d\theta.
Note que \cos^5\theta\,d\theta = \cos^4\theta\;\cos\theta\,d\theta e \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta. Assim
\cos^4\theta = (1-\sin^2\theta)^2 = (1 - u^2)^2,
e a integral passa a ser
\int \frac{\cos^5\theta}{\sin\theta}\,d\theta = \int \frac{(1 - u^2)^2\,du}{u} = \int \bigl(u^{-1} - 2u + u^3\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int u^{-1}\,du = \ln\lvert u\rvert, \quad \int (-2u)\,du = -u^2, \quad \int u^3\,du = \frac{u^4}{4}.
Somando, obtemos
\ln\lvert u\rvert - u^2 + \frac{u^4}{4} + C.

Passo 5

Voltando a \theta com u=\sin\theta, a antiderivada é
\ln\lvert\sin\theta\rvert - \sin^2\theta + \frac{\sin^4\theta}{4} + C.

Resposta

\boxed{ \int \cot^5\theta\,\sin^4\theta\,d\theta = \ln\bigl|\sin\theta\bigr| - \sin^2\theta + \frac{\sin^4\theta}{4} + C }.

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