Calcule a integral.
\int cos ^{2}(x) \operatorname{sen}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \cos^{2}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx
O conteúdo principal aqui são identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois integrar funções do tipo constante e cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo para seno e cosseno:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\quad\Longrightarrow\quad\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)=\frac{1}{4}\sin^{2}(2x).

Passo 3

Agora empregamos a identidade do seno ao quadrado:
\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}.
Substituindo em \sin^{2}(x)\cos^{2}(x), temos
\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos(4x)}{2}=\frac{1-\cos(4x)}{8}.

Passo 4

A integral vira
\int \cos^{2}(x)\sin^{2}(x)\,dx =\int \frac{1-\cos(4x)}{8}\,dx =\frac{1}{8}\int\bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo,
\frac{1}{8}\Bigl(x-\frac{\sin(4x)}{4}\Bigr)+C =\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}+C.

Resposta

\int \cos^{2}(x)\sin^{2}(x)\,dx =\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}+C.

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