Calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{5}(x) cos ^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integrar potências de seno e cosseno, usando identidades trigonométricas e mudança de variável.

Passo 2

Vamos usar as identidades
\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)=\frac{1}{4}\operatorname{sen}^{2}(2x),
\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Reescrevendo
\operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x) =\bigl[\operatorname{sen}(x)\cos(x)\bigr]\bigl[\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)\bigr]^{2} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2}\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{sen}^{4}(2x) =\frac{1}{32}\operatorname{sen}^{5}(2x).

Passo 3

Assim
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx =\frac{1}{32}\int \operatorname{sen}^{5}(2x)\,dx.
Fazemos a mudança de variável u=2x, então du=2\,dx ou dx=\tfrac{1}{2}du. Logo
\int \operatorname{sen}^{5}(2x)\,dx =\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du
e nosso integral vira
\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du =\frac{1}{64}\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du.

Passo 4

Para \displaystyle\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du escrevemos \operatorname{sen}^{5}(u)=\operatorname{sen}^{4}(u)\operatorname{sen}(u)=(1-\cos^{2}u)^{2}\operatorname{sen}(u) e usamos t=\cos(u), dt=-\operatorname{sen}(u)\,du. Então
\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du =-\int (1-t^{2})^{2}\,dt =-\int (t^{4}-2t^{2}+1)\,dt =-\Bigl(\frac{t^{5}}{5}-\frac{2t^{3}}{3}+t\Bigr)+C.
Substituindo t=\cos(u) fica
\int \operatorname{sen}^{5}(u)\,du =-\frac{\cos^{5}(u)}{5}+\frac{2\cos^{3}(u)}{3}-\cos(u)+C.

Passo 5

Voltando a u=2x e multiplicando o fator \tfrac{1}{64}, obtemos
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx =\frac{1}{64}\Bigl[-\frac{\cos^{5}(2x)}{5}+\frac{2\cos^{3}(2x)}{3}-\cos(2x)\Bigr]+C.
Distribuindo os coeficientes, uma forma simplificada é
-\frac{\cos^{5}(2x)}{320} +\frac{\cos^{3}(2x)}{96} -\frac{\cos(2x)}{64} + C.

Resposta

-\frac{\cos^{5}(2x)}{320} +\frac{\cos^{3}(2x)}{96} -\frac{\cos(2x)}{64} + C.

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