2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão (20 pontos ) Se \sqrt{x z}+\ln (2 y+z)=\cos \left(z^{3}\right), calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado define z implicitamente pela equação
\sqrt{xz} + \ln(2y+z) = \cos\bigl(z^3\bigr).
O conteúdo é diferenciação implícita em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos usar a função auxiliar
\varphi(x,y,z) = \sqrt{xz} + \ln(2y+z) - \cos\bigl(z^3\bigr)
e aplicar a fórmula
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\phi_x}{\phi_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\phi_y}{\phi_z},
desde que \phi_z\neq 0.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de \varphi em relação a x e y, tratando z como independente:
– Derivada de \sqrt{xz} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{xz} = \frac{1}{2\sqrt{xz}}\cdot z = \frac{z}{2\sqrt{xz}}.
– Derivada de \ln(2y+z) em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\ln(2y+z) = \frac{2}{2y+z}.
Como \cos(z^3) não depende de x nem de y (tratando z independente),
\phi_x = \frac{z}{2\sqrt{xz}}, \qquad \phi_y = \frac{2}{2y+z}.

Passo 3

Agora derivamos \varphi em relação a z, ainda tratando x,y como constantes:
– De \sqrt{xz} vem
\frac{\partial}{\partial z}\sqrt{xz} = \frac{1}{2\sqrt{xz}}\cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xz}}.
– De \ln(2y+z) vem
\frac{\partial}{\partial z}\ln(2y+z) = \frac{1}{2y+z}.
– De -\cos(z^3) vem
\frac{\partial}{\partial z}\bigl[-\cos(z^3)\bigr] = -\bigl(-\sin(z^3)\cdot 3z^2\bigr) = 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr).
Portanto,
\phi_z = \frac{x}{2\sqrt{xz}} + \frac{1}{2y+z} + 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr).

Passo 4

Aplicando as fórmulas da diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\phi_x}{\phi_z} = -\frac{\displaystyle \frac{z}{2\sqrt{xz}}} {\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{xz}} + \frac{1}{2y+z} + 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr)},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\phi_y}{\phi_z} = -\frac{\displaystyle \frac{2}{2y+z}} {\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{xz}} + \frac{1}{2y+z} + 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr)}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\dfrac{z}{2\sqrt{xz}}} {\dfrac{x}{2\sqrt{xz}} + \dfrac{1}{2y+z} + 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr)}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\dfrac{2}{2y+z}} {\dfrac{x}{2\sqrt{xz}} + \dfrac{1}{2y+z} + 3z^2\sin\bigl(z^3\bigr)}.

Exercícios relacionados