5 { }^{\text {a }} Questão ( 20 pontos) Use os seus conhecimentos em Cálculo para determinar a menor distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano x-y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano
x - y + z = 4.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição em Cálculo. Vamos modelar o problema como minimizar a distância ao quadrado de um ponto genérico (x,y,z) até P, sujeita à restrição de que (x,y,z) está no plano. Para isso, usamos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função a minimizar e a restrição:
f(x,y,z) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2,
g(x,y,z) = x - y + z - 4 = 0.
A ideia é achar (x,y,z) que minimiza f com g=0.

Passo 3

Computamos os gradientes e igualamos segundo Lagrange:
\nabla f = \bigl(2(x-1),\,2(y-2),\,2(z-3)\bigr),
\nabla g = (1,-1,1),
\nabla f = \lambda\,\nabla g.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2(x-1) = \lambda,\\\\ 2(y-2) = -\lambda,\\\\ 2(z-3) = \lambda,\\\ x - y + z = 4. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações vem
x-1 = \frac{\lambda}{2},\quad y-2 = -\frac{\lambda}{2},\quad z-3 = \frac{\lambda}{2}.
Logo
x - z = -2,\quad y + x = 3.
Juntando com x - y + z = 4 e resolvendo:
x-z=-2,\quad y=3-x,\quad z=x+2,
x - (3-x) + (x+2) = 4 \;\Longrightarrow\;3x -1 = 4\;\Longrightarrow\;x=\tfrac{5}{3},
y=3 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{4}{3},\quad z=\tfrac{5}{3}+2 = \tfrac{11}{3}.
Assim, o pé da perpendicular é \bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\bigl).

Passo 5

A menor distância é
\sqrt{\bigl(\tfrac{5}{3}-1\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{4}{3}-2\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{11}{3}-3\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

A menor distância entre P e o plano é \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

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