5 { }^{\text {a }} Questão ( 20 pontos) Use os seus conhecimentos em Cálculo para determinar a menor distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano x-y+z=4.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano
x - y + z = 4.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição em Cálculo. Vamos modelar o problema como minimizar a distância ao quadrado de um ponto genérico (x,y,z) até P, sujeita à restrição de que (x,y,z) está no plano. Para isso, usamos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função a minimizar e a restrição:
f(x,y,z) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2,
g(x,y,z) = x - y + z - 4 = 0.
A ideia é achar (x,y,z) que minimiza f com g=0.
Passo 3
Computamos os gradientes e igualamos segundo Lagrange:
\nabla f = \bigl(2(x-1),\,2(y-2),\,2(z-3)\bigr),
\nabla g = (1,-1,1),
\nabla f = \lambda\,\nabla g.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2(x-1) = \lambda,\\\\ 2(y-2) = -\lambda,\\\\ 2(z-3) = \lambda,\\\ x - y + z = 4. \end{cases}