Calcule a integral.
\int \cos ^{2} x \operatorname{tg}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}x \,\tan^{3}x \,dx.
O conteúdo envolvido é manipular identidades trigonométricas e usar integrais básicas de \tan x e de produtos como \sin x\cos x.

Passo 2

Observe que
\tan^{3}x = \tan x \,\tan^{2}x \quad\text{e}\quad \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Logo,
\cos^{2}x\,\tan^{3}x = \cos^{2}x\,\tan x\,(\operatorname{sec}^{2}x - 1) = \cos^{2}x\,\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x \;-\;\cos^{2}x\,\tan x.

Passo 3

Simplificando cada termo:
\cos^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x = 1,
então o primeiro pedaço vira
\int \cos^{2}x\,\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x \,dx = \int \tan x \,dx.

Passo 4

O segundo pedaço é
\int \cos^{2}x\,\tan x \,dx = \int \cos^{2}x \,\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \sin x\cos x \,dx.
Portanto, a integral original se separa em
\int \tan x \,dx \;-\; \int \sin x\cos x \,dx.

Passo 5

Calcule \displaystyle\int \tan x \,dx. Sabemos que
\int \tan x \,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C_{1}.

Passo 6

Calcule \displaystyle\int \sin x\cos x \,dx. Fazendo u=\sin x, du=\cos x\,dx, obtemos
\int \sin x\cos x \,dx = \int u \,du = \tfrac{1}{2}u^{2}+C_{2} = \tfrac{1}{2}\sin^{2}x + C_{2}.

Passo 7

Juntando os resultados e unificando a constante em C, temos
\int \cos^{2}x\,\tan^{3}x \,dx = \bigl(-\ln\bigl|\cos x\bigr|\bigr) \;-\;\tfrac{1}{2}\sin^{2}x + C.

Resposta

\boxed{ \int \cos^{2}x\,\tan^{3}x \,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr| \;-\;\tfrac{1}{2}\sin^{2}x + C }.

Exercícios relacionados