Calcule a integral.
\int x \operatorname{sen}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int x \,\operatorname{sen}^3 x\,dx.
Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que diz que
\int u\,dv = u\,v \;-\;\int v\,du.
Além disso, precisaremos do resultado de \displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\,dx.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\,dx. Note que
\operatorname{sen}^3 x = \operatorname{sen} x\,(1-\cos^2 x).
Fazendo a substituição
t = \cos x, \quad dt = -\operatorname{sen} x\,dx,
temos
\int \operatorname{sen}^3 x\,dx = \int \operatorname{sen} x\,(1-\cos^2 x)\,dx = -\int (1-t^2)\,dt = -\,t + \frac{t^3}{3} = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}.

Passo 3

Aplicar integração por partes em \displaystyle \int x\,\operatorname{sen}^3 x\,dx. Escolhemos
u = x, \quad dv = \operatorname{sen}^3 x\,dx \;\Longrightarrow\; du = dx, \quad v = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}.
Logo
\int x\,\operatorname{sen}^3 x\,dx = x\Bigl(-\cos x + \tfrac{\cos^3 x}{3}\Bigr) - \int \Bigl(-\cos x + \tfrac{\cos^3 x}{3}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Precisamos ainda calcular
\displaystyle \int \cos x\,dx e \displaystyle \int \cos^3 x\,dx.
Primeiro,
\int \cos x\,dx = \sin x.
Depois, escrevendo \cos^3 x = \cos x\,(1-\sin^2 x) e usando u=\sin x, du=\cos x\,dx, obtemos
\int \cos^3 x\,dx = \int (1-u^2)\,du = u - \frac{u^3}{3} = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3}.

Passo 5

Voltando à expressão por partes:
\int x\,\operatorname{sen}^3 x\,dx = -\,x\cos x + \frac{x\cos^3 x}{3} + \int \cos x\,dx - \frac{1}{3}\,\int \cos^3 x\,dx.
Substituindo os resultados:
\int x\,\operatorname{sen}^3 x\,dx = -x\cos x + \frac{x\cos^3 x}{3} + \sin x - \frac{1}{3}\Bigl(\sin x - \tfrac{\sin^3 x}{3}\Bigr) + C.
Distribuindo e agrupando em \sin x e \sin^3 x, fica
\int x\,\operatorname{sen}^3 x\,dx = -x\cos x + \frac{x\cos^3 x}{3} + \frac{2}{3}\,\sin x + \frac{1}{9}\,\sin^3 x + C.

Resposta

-\,x\cos x \;+\;\frac{x\cos^3 x}{3} \;+\;\frac{2}{3}\,\sin x \;+\;\frac{1}{9}\,\sin^3 x \;+\;C.

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