Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}x\,\cos^{2}x \,dx.
O conteúdo principal é integração usando identidades trigonométricas (redução de potência).

Passo 2

Usamos a identidade do ângulo duplo \sin(2x)=2\sin x\cos x, que implica
\sin^{2}x\,\cos^{2}x = \Bigl(\tfrac{1}{2}\sin(2x)\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}\,\sin^{2}(2x).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução de potência em \sin^{2}(2x):
\sin^{2}(2x) = \frac{1-\cos(4x)}{2}.
Logo,
\sin^{2}x\,\cos^{2}x = \frac{1}{4}\,\frac{1-\cos(4x)}{2} = \frac{1}{8}\bigl(1-\cos(4x)\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral,
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}x\,\cos^{2}x \,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{8}\bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx = \frac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx = x - \frac{1}{4}\sin(4x).

Passo 5

Avaliando de 0 a \pi/2:
\left[x - \tfrac{1}{4}\sin(4x)\right]_{0}^{\pi/2} = \Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{1}{4}\sin(2\pi)\Bigr) - \Bigl(0 - \tfrac{1}{4}\sin(0)\Bigr) = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{8}, obtemos
\frac{1}{8}\,\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}x\,\cos^{2}x \,dx = \frac{\pi}{16}.

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