Determine a área da região entre a reta y=x-1 e o eixo x de:
\mathrm{x}=-1 até \mathrm{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta y = x - 1 e o eixo x, no intervalo de \,x=-1 até x=1.
Conteúdo: cálculo de área entre curva e eixo x. Vamos precisar usar integral definida e considerar o valor absoluto de y sempre que y estiver abaixo do eixo.

Passo 2

Analisando o sinal de y = x-1 em [-1,1]:
Para todo x<1 temos x-1<0, logo em [-1,1) a reta está abaixo do eixo x. Em x=1, y=0.
Portanto, o módulo é
|\,x-1| = 1 - x
em todo o intervalo de integração.

Passo 3

A área pedida é
A = \int_{-1}^{1} \bigl|x-1\bigr| \,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{-1}^{1} (1 - x)\,dx = \int_{-1}^{1} 1\,dx \;-\; \int_{-1}^{1} x\,dx.
Temos
\int_{-1}^{1} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2,
\int_{-1}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac12 - \frac12 = 0.
Logo
A = 2 - 0 = 2.

Resposta

2

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