Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Observação útil (não é resolução ainda): a função tem singularidade em
, mas esse ponto não pertence ao intervalo
, então o integrando é contínuo no intervalo dado e a integral própria faz sentido.
Passo 2
Primeiro simplificamos algebricamente a fração para ficar com potências de
fáceis de integrar. Dividindo cada termo do numerador por
temos
Passo 3
Escrevendo em potências de
,
Explicando:
e
.
Passo 4
Agora lembramos duas regras de integração que vamos usar:
- Linearidade:
, onde são constantes. - Regra das potências: para
,
- Caso especial
:
Aqui
é a constante de integração quando fazemos primitivas; na integral definida usaremos uma primitiva
e aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo:
se
for contínua em
.
Passo 5
Aplicando as regras às parcelas
e
:
- Para
: usamos a linearidade e a regra das potências com :
- Para
: é o caso especial,
Somando as primitivas obtemos uma primitiva
do integrando:
Passo 6
Como o integrando é contínuo em
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
onde
.
Passo 7
Calcule
:
Expliquei:
e
.
Passo 8
Calcule
:
Expliquei:
e
.
Passo 9
Agora subtraímos: