Calcule a integral:
\int_{-2}^{-1} \frac{2+x}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1} \frac{2+x}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{2+x}{x^{2}},\qquad\text{intervalo de integração: }[-2,-1].çã
Observação útil (não é resolução ainda): a função tem singularidade em x=0, mas esse ponto não pertence ao intervalo [-2,-1], então o integrando é contínuo no intervalo dado e a integral própria faz sentido.

Passo 2

Primeiro simplificamos algebricamente a fração para ficar com potências de x fáceis de integrar. Dividindo cada termo do numerador por x^{2} temos
\frac{2+x}{x^{2}}=\frac{2}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}.

Passo 3

Escrevendo em potências de x,
\frac{2}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}} = 2x^{-2} + x^{-1}.
Explicando: \frac{1}{x^{2}}=x^{-2} e \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}=x^{-1}.

Passo 4

Agora lembramos duas regras de integração que vamos usar:
  1. Linearidade: \int (a f(x)+ b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  2. Regra das potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  1. Caso especial n=-1:
\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Aqui C é a constante de integração quando fazemos primitivas; na integral definida usaremos uma primitiva F e aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a) se f for contínua em [a,b].

Passo 5

Aplicando as regras às parcelas 2x^{-2} e x^{-1}:
  • Para 2x^{-2}: usamos a linearidade e a regra das potências com n=-2:
\int 2x^{-2}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\cdot\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) = -2x^{-1} = -\frac{2}{x}.
  • Para x^{-1}: é o caso especial,
\int x^{-1}\,dx = \ln|x|.
Somando as primitivas obtemos uma primitiva F do integrando:
F(x)=\ln|x| - \frac{2}{x}.

Passo 6

Como o integrando é contínuo em [-2,-1], pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{-1} \frac{2+x}{x^{2}}\,dx = F(-1)-F(-2),
onde F(x)=\ln|x| - \dfrac{2}{x}.

Passo 7

Calcule F(-1):
F(-1)=\ln|{-1}| - \frac{2}{-1} = \ln(1) + 2 = 0 + 2 = 2.
Expliquei: |-1|=1 e \ln 1 = 0.

Passo 8

Calcule F(-2):
F(-2)=\ln|{-2}| - \frac{2}{-2} = \ln(2) + 1 = 1 + \ln 2.
Expliquei: |-2|=2 e -\dfrac{2}{-2}=1.

Passo 9

Agora subtraímos:
F(-1)-F(-2)=2 - (1 + \ln 2)=1-\ln 2.

Resposta

1-\ln 2

Exercícios relacionados